Überlagerter Zustand vs. Null-Amplituden-Zustand

Ich glaube nicht, dass es tatsächlich möglich ist, überall in der Quantenmechanik eine vollständige destruktive Interferenz zu haben (es sei denn, der Zustand, mit dem Sie begonnen haben, hat eine Amplitude von Null). Die Wellenfunktion eines Teilchens enthält alle Informationen über dieses Teilchen, einschließlich allem, was benötigt wird, um zu berechnen, was es in der Zukunft tun wird. Dies bedeutet, dass eine sich nach rechts ausbreitende Welle eine andere Wellenfunktion hat als eine sich nach links ausbreitende Welle und daher nicht vollständig destruktiv interferieren kann.

Dies ist möglich, weil die Wellenfunktion eine komplexwertige Funktion ist. Wir können dies schreiben als

$$\begin{equation} \psi(x,t) = R(x,t)e^{\imath\,\theta(x,t)}\end{equation}$$ Wo $R$Und $\theta$sind reellwertige Funktionen. Die Größe der Wellenfunktion, $R$gibt uns die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen in einem kleinen Bereich zu finden $$\begin{equation}P(x_0<x<x_0+\mathrm{d}x) = R(x_0,t)^2\mathrm{d}x\end{equation}$$ Die Phase $\theta$sagt uns nichts direkt Messbares, wird aber wichtig, wenn wir berechnen, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit ändert.

Angenommen, wir haben zwei ebene Wellen, die sich in verschiedene Richtungen ausbreiten

$$\begin{equation}\psi_r = e^{-\imath(\omega t - kx)} \end{equation}$$ Ausbreitung nach rechts und $$\begin{equation}\psi_l = e^{-\imath(\omega t + kx)} \end{equation}$$ nach links ausbreiten. Wir können eine Superposition dieser Zustände wie folgt darstellen $$\begin{equation}\Psi = \alpha\psi_r + \beta\psi_l\end{equation}$$ Wenn wir sagen sagen $\alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = -\frac{1}{2}$wir finden $$\begin{align} \Psi &= \frac{1}{2} \left( e^{-\imath(\omega t - kx)} - e^{-\imath(\omega t + kx)} \right)\\ &= \imath \sin(kx)e^{-\imath \omega t} \ne 0 \end{align}$$

Wenn sich die beiden Wellenfunktionen in Zukunft unterschiedlich entwickeln sollen, müssen sie im Allgemeinen unterschiedliche komplexe Phasen haben und können daher nicht überall destruktiv interferieren. Wenn sie es täten, wären sie die gleiche Wellenfunktion und würden daher für immer gleich bleiben, und Sie hätten eine Welle mit einer Amplitude von 0.

Lassen Sie uns zunächst über eine makroskopische Zeichenfolge sprechen, um das klarzustellen. Dann können wir von einem quantenmechanischen System sprechen.

Für die makroskopische Saite ist der Zustand mehr als nur die Position jedes infinitesimalen Stücks der Saite – es ist auch der Impuls jeder infinitesimalen Einheit der Saite. Wenn Sie sich also die Stelle ansehen, an der destruktive Interferenz stattgefunden hat, und kommentieren, dass es sich nicht um eine Region handelt, in der es keine Bewegung gibt, vernachlässigen Sie das Momentum. Unmittelbar neben dem Ort der destruktiven Interferenz bewegt sich die Saite (im einfachsten Fall) in gleiche und entgegengesetzte Richtungen. Dies ist in dem Bereich, in dem (per Definition) keine Bewegung stattfindet, nicht der Fall.

Dasselbe gilt für quantenmechanische Systeme. Wir sprechen im Allgemeinen von psi(x) – was nur eine Funktion der Position ist – aber wir wissen aus der Schrödinger-Gleichung und der Fourrier-Transformation, dass wir dies in psi(p), die Wellenfunktion für den Impuls, umwandeln können. Und dasselbe gilt - wenn Sie sich einen "weiten" Bereich einer Wellenfunktion mit einer Amplitude von Null vorstellen und ihn mit einem "Knoten" vergleichen - einem Punkt mit einer Amplitude von Null -, ist dies analog zur obigen String-Beschreibung.