Kombination einfacher harmonischer Bewegungen

Question

Kombination einfacher harmonischer Bewegungen

Karan Singh

Wird die Kombination von 2 einfachen harmonischen Bewegungen ein SHM für sich sein? Zum Beispiel für einfache Funktionen wie z

F (T) = Sünde ω T - \cos ω T

$\ f(t)=\sin\omega t-\cos\omega t$ Ich kann Trigonometrie verwenden, um zu zeigen, dass es ausgedrückt werden kann als

F (T) = \sqrt{2} Sünde (ω T - π / 4)

$\ f(t)=\sqrt 2\sin(\omega t-\pi/4)$ .

Aber was ist mit den Funktionen, die in den unten angegebenen Fragen angegeben sind?

[Ref: „NCERT Class 11th (XI) Physics, Part 2“, Digital Designs; Anmerkungen auf S. 357 und Aufgabe 14.4, p. 359 < Link > ]

In (b) kann ich die Funktion als Kombination von ausdrücken

$\sin\omega t$ Und $\sin3\omega t$ .

Jeder dieser beiden Begriffe kann unabhängig voneinander ein SHM ausdrücken, aber wird ihre Kombination dasselbe bewirken?

Als Antwort auf Teil (b) und (d) sagt das Buch, dass die Superposition zweier SHM immer periodisch ist, aber niemals eine SHM. (Ich glaube, dass dies falsch ist. Vielleicht ein Tippfehler)

Außerdem gibt es am Ende des Kapitels eine Anmerkung:

Ich bin ziemlich verwirrt.

Kann mir jemand sagen, wann die Kombination von 2 SHMs ein SHM/periodisch/nicht periodisch ist ?

AlQuemist

Diese Frage und die bereitgestellten Antworten könnten hilfreich sein. @Karan Singh

AlQuemist

Ich denke, die definierende Eigenschaft einer einfachen harmonischen Bewegung ist, dass es sich um eine periodische Bewegung mit einer konstanten Amplitude und einer konstanten Phase handelt; das heißt, es sollte möglich sein, es als zu beschreiben

x (t) = A \cos (ω t + ϕ)

$x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi)$ , Wo

A

$A$ ,

ω

$\omega$ , Und

ϕ

$\phi$ sind zeitunabhängige Konstanten. @Karan Singh

Benutzer36790

Siehe Fourier-Analyse und lesen Sie Allgemeine Bewegung kontinuierlicher Saiten und Fourier-Analyse von Frank S. Crawford Jr. in Berkeley Physics: Waves

John Alexiou

Es ist nicht

\sin 3 ω t

$\sin 3 \omega t$ Aber

\sin^{3} ω t

$\sin^3 \omega t$ in der Lehrbuchfrage.

Antworten (1)

Kombination einfacher harmonischer Bewegungen

Diese Frage und die bereitgestellten Antworten könnten hilfreich sein. @Karan Singh
Ich denke, die definierende Eigenschaft einer einfachen harmonischen Bewegung ist, dass es sich um eine periodische Bewegung mit einer konstanten Amplitude und einer konstanten Phase handelt; das heißt, es sollte möglich sein, es als zu beschreiben $x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi)$ , Wo $A$ , $\omega$ , Und $\phi$ sind zeitunabhängige Konstanten. @Karan Singh
Siehe Fourier-Analyse und lesen Sie Allgemeine Bewegung kontinuierlicher Saiten und Fourier-Analyse von Frank S. Crawford Jr. in Berkeley Physics: Waves
Es ist nicht $\sin 3 \omega t$ Aber $\sin^3 \omega t$ in der Lehrbuchfrage.

Praan · Answer 1

Betrachten Sie die Überlagerung zweier einfacher harmonischer Bewegungen

X (T) = X_{1} (T) + X_{2} (T) = A_{1} \cos (ω_{1} T + ϕ_{1}) + A_{2} \cos (ω_{2} T + ϕ_{2}) .

$\begin{equation} x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos \left( \omega_1 t + \phi_1 \right) + A_2 \cos \left( \omega_2 t + \phi_2 \right). \end{equation}$ Die erste Bewegung

x_{1} (t)

$x_1(t)$ ist periodisch mit Periode

T_{1} = \frac{2 π}{ω_{1}}

$T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$ und die zweite Bewegung

x_{2} (t)

$x_2(t)$ ist periodisch mit Periode

T_{2} = \frac{2 π}{ω_{2}}

$T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$ . Offensichtlich ist die Summe aus beiden nur dann periodisch, wenn

n T_{1} = m T_{2}

$n T_1 = m T_2$ Wo

n

$n$ Und

m

$m$ sind positive ganze Zahlen (danke an den Benutzer fibonatic für den Hinweis auf den allgemeinsten Fall). Um dies zu sehen, schreiben Sie einfach

X (T + N T_{1}) = X_{1} (T + N T_{1}) + X_{2} (T + M T_{2}) = X_{1} (T) + X_{2} (T) = X (T) .

$\begin{equation} x\left(t+nT_1\right) = x_1\left(t+nT_1\right) + x_2\left(t+mT_2\right) = x_1(t) + x_2(t) = x(t). \end{equation}$

Außerdem, wenn die Periode beider harmonischer Bewegungen gleich ist $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ , wir können schreiben

\begin{aligned} X (T) & = A_{1} [\cos (ω T) \cos ϕ_{1} - Sünde (ω T) Sünde ϕ_{1}] + A_{2} [\cos (ω T) \cos ϕ_{2} - Sünde (ω T) Sünde ϕ_{2}] \\ = [A_{1} \cos ϕ_{1} + A_{2} \cos ϕ_{2}] \cos (ω T) - [A_{1} Sünde (ϕ_{1}) + A_{2} Sünde ϕ_{2}] Sünde (ω T) \\ = A \cos (ω T + ϕ), \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = A_1 \left[ \cos(\omega t) \cos \phi_1 - \sin(\omega t) \sin \phi_1 \right] + A_2 \left[ \cos(\omega t) \cos \phi_2 - \sin(\omega t) \sin \phi_2 \right] \\ & = \left[ A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2 \right] \cos(\omega t) - \left[ A_1 \sin(\phi_1) + A_2 \sin \phi_2 \right] \sin(\omega t) \\ & = A \cos \left( \omega t + \phi \right), \end{align}$ wo die Summenregel verwendet wird

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

$\cos\left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ , und wir haben definiert

\begin{aligned} A \cos ϕ & = A_{1} \cos ϕ_{1} + A_{2} \cos ϕ_{2} \\ A Sünde ϕ & = A_{1} Sünde ϕ_{1} + A_{2} Sünde ϕ_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} A \cos \phi & = A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2 \\ A \sin \phi & = A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2 . \end{align}$ Dies kann auf eine beliebige Summe harmonischer Bewegungen mit gleicher Periode verallgemeinert werden:

\sum_{ich} A_{ich} \cos (ω T + ϕ_{ich}) = A \cos (ω T + ϕ) .

$\begin{equation} \sum_i A_i \cos \left( \omega t + \phi_i \right) = A \cos \left( \omega t + \phi \right). \end{equation}$ Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, festzustellen, dass die harmonische Gleichung eine lineare Differentialgleichung ist; jede Linearkombination von Lösungen ist auch eine Lösung.

Abschluss

Die Summe zweier harmonischer Bewegungen mit Frequenzen $\omega_1$ Und $\omega_2$ periodisch ist, wenn das Verhältnis $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ ist eine positive rationale Zahl. Wenn das Verhältnis irrational ist, ist die resultierende Bewegung nicht periodisch.

Wenn außerdem die Frequenzen der beiden harmonischen Bewegungen gleich sind, ist die resultierende Bewegung auch eine harmonische Bewegung mit derselben Frequenz.

Da müsste ich Ihnen z. B. nach Ihrer Definition widersprechen $\omega_1=3$ Und $\omega_2=5$ sollte nicht periodisch sein, ist es aber. Es ist nämlich periodisch, wenn $\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{n}{m}$ , Wo $n$ Und $m$ sind beide positive ganze Zahlen.
@fibonatic Tatsächlich habe ich meine Antwort geändert. Danke.
@KaranSingh Ich habe meine Antwort aktualisiert. Ich habe die Periodizität übersehen. Siehe den Kommentar von fibonatic.

Kombination einfacher harmonischer Bewegungen

Karan Singh

AlQuemist

AlQuemist

Benutzer36790

John Alexiou

Antworten (1)

Praan

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Praan

Praan

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