Interferenz von zwei Wellen

Im ersten Fall mit$y_1=A\sin(kx-wt)$Und$y_2=A\sin(kx+wt)$Sie erhalten eine stehende Welle, wie die Summe ist$y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(wt)$. Dies liegt daran, dass sich die beiden Wellen in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Im zweiten Fall haben Sie keine stehenden Wellen, da sich die Wellen in die gleiche Richtung ausbreiten. Wie auch immer, es ist nur einfache Trigonometrie. Aus den Beziehungen

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$$ du erhältst $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$ Nun lass$\gamma=\alpha+\beta$Und$\delta=\alpha-\beta$, das hast du $$\alpha=\frac{\gamma+\delta}{2}$$ $$\beta=\frac{\gamma-\delta}{2}$$ So $$\sin\gamma+\sin\delta=2\sin\frac{\gamma+\delta}{2}\cos\frac{\gamma-\delta}{2}$$

Dann im Fall (1) haben Sie$\gamma=kx-wt$Und$\delta=kx+wt$und aus der obigen Formel erhalten Sie

$$y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(wt)$$ Im Fall (2) haben Sie$\gamma=kx-wt$Und$\delta=kw-wt+\phi$. Setzen Sie dies in die obige Gleichung ein, die Sie erhalten $$\sin(kx-wt)+\sin(kw-wt+\phi)=2\sin\left(kw-wt+\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)$$ Ich habe überlegt$A=1$.

Die Verwendung von Phasoren kann in einem solchen Fall helfen?

Im Diagramm der Referenzzeiger$WX$repräsentiert$A\sin(kx-\omega t)$mit Amplitude$A$an irgendeiner Stelle$x$und Zeiger$WY$repräsentiert$A\sin(kx-\omega t+\phi)$an der gleichen Position mit der gleichen Amplitude$A$und führend$A\sin(kx-\omega t)$von$\phi$.

Das Diagramm zeigt sofort, dass der resultierende Zeiger$WY$führt den Referenzzeiger vorbei$\frac \phi 2$und so ist von der Form$\sin(kx-\omega t+\frac \phi 2)$

Die Amplitude des resultierenden Zeigers ist die Länge von$WY$die durch Anwendung des Kosinussatzes auf Dreieck gefunden werden kann$WXY$

$$WY^2 = A^2 + A^2 - 2 \,A\,A\cos (\pi - \phi) = A^2 \,2(1-\cos^2 \phi)= 4A^2\cos^2 \left (\frac \phi 2 \right)$$

$$\Rightarrow WY = 2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)$$

Der resultierende Zeiger hat eine Amplitude von$2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)$kann also geschrieben werden als

$$2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)\sin(kx-\omega t+\frac \phi 2)$$

Antwort auf eine Frage des OP.

Die stehende Welle kann auf diese Weise behandelt werden.

Der$A\sin(kx +\omega t)$Variation kann man sich vorstellen als$A\sin(\omega t + \phi)$Variation auf einer Position$x$Wo$\phi = kx$.
Dies kann als Phasor gezeichnet werden, der ist$\phi$vor dem Referenzzeiger$A\sin{\omega t}$Zeiger.

Der$A\sin(kx - \omega t)$Variation an der gleichen Position$x$ist auf folgende Weise etwas schwieriger zu handhaben.

$A\sin(kx - \omega t) = - A \sin(\omega t - kx) = A \sin(\omega t - kx - \pi) = A \sin(\omega t - (\phi + \pi))$

Dies ist ein Zeiger, der dem Referenzzeiger nacheilt$A\sin \omega t$von$\phi + \pi$

Also, wenn Sie die Position verschieben$x$die Phase$\phi$ändert sich, um eine andere, aber konstante Amplitude für den resultierenden Zeiger zu ergeben.

Wenn$x=0 \Rightarrow \phi =0$das Ergebnis ist$0$und wann$x= \frac{\pi}{2k} \left (= \frac{\lambda}{4}\right )$das Ergebnis ist$2A$.

Der resultierende Zeiger ist$\frac \pi 2$vor der Referenz$\sin\omega t$Phasor dh es ist$\cos \omega t$und hat eine Amplitude von$2A\sin \phi \Rightarrow 2A\sin\phi\cos \omega t$