Die Lösung des 2D-Laplace-Operators in Polarkoordinaten ergibt eine komplexe Lösung

Ich habe ein Lehrbuch studiert: Physikalische Grundlagen der technischen Akustik (auf das in einer Forschungsarbeit verwiesen wird) und ich habe versucht, den Laplace-Operator einer Wellengleichung zu lösen, indem ich die angegebenen Schritte befolgte. Es war Gleichung (2.35) von Seite 29:

∇ 2 Φ = 1 R 2 ∂ ∂ R ( R 2 ∂ Φ ∂ R ) + 1 R 2 Sünde ⁡ θ ∂ ∂ θ ( Sünde ⁡ θ ∂ Φ ∂ θ )

Ich habe die Methode der Variablentrennung befolgt, bin aber auf eine Hürde gestoßen, als ich die Lösungen nach Gleichung (2.42) von Seite 32 wieder zusammengesetzt habe. Das Buch verwendet die Kugelwelle nullter Ordnung und Substitute J 0 , P 0 , Und H 0 ( 2 ) ( k R ) .

Unter Verwendung von Gleichung (2.42a)

H M ( 2 ) ( k R ) = J M ( k R ) + ich N M ( k R ) ,

Ich habe erhalten:

A 0 k R ( Sünde ⁡ ( k R ) − ich cos ⁡ ( k R ) ) e ich ω T

Was in komplexer Schreibweise:

A 0 k R ( ich e − ich k R ) e ich ω T

(Warum ist ich an den Exponenten angehängt e ? Gemäß den Ergebnissen unten sollte es nicht da sein.)

Die Ergebnisse stimmen nicht mit der durch Gleichung (2.43) auf Seite 34 gegebenen Lösung überein:

A Φ max R e ich ( ω T − k R − ϕ )

Nun die Frage: Warum ist die Lösung anders und meine Antwort hat eine imaginäre Einheit, die die Lösung imaginär macht? Habe ich einen fatalen Fehler gemacht?

Nebenfrage: Wie A 0 k R werden A Φ max R (Wo war das k gehen?) und wie funktioniert die ϕ in der Lösung auftauchen?

Es scheint, dass, wenn ich den Wert der Bessel-Funktion setze J 0 in die Neumann-Funktion in Gleichung (2.42a) und umgekehrt, erhalte ich die Lösung ähnlich der Buchlösung, außer mit den Konstanten. Dies gilt auch für eine andere Lösung im Buch mit Wellen erster Ordnung.

Glossar: J M Bessel-Funktion, N M Neumann-Funktion, H M ( 2 ) Hankel-Funktion.

Hinweis: Ich habe einen books.google-Link für das Buch angegeben. Die Seiten, auf die ich verwiesen habe, sind zugänglich.

Sind Sie sicher, dass es kein Tippfehler ist, wo sie -kr anstelle von -ikr haben? Der Hauptunterschied besteht darin, dass ikr im Raum schwingen würde, wie es eine Welle tun sollte, während -kr nur mit der Entfernung abfällt und alle Schwingungen mit der Zeit in Phase sind. Das klingt nach dem, was man bekommt, wenn eine Welle abklingt, wie zum Beispiel in einer reflektierenden Grenzschicht, wo die Phase an der Grenze herausgegriffen wird. Abgesehen von der Mathematik sollten Sie also in der Lage sein, die physische Situation zu erkennen.
I obtained: A0kr(sin(kr)−icos(kr))eiωtsind es die möglichen Funktionen Φ erhalten durch die Verwendung von Variablen trennbar?
Was Sie geschrieben haben, ist nicht die Wellengleichung, sondern ein Ausdruck für den Laplace-Operator. Können Sie Ihre Frage präzisieren?
@KenG Beziehen Sie sich auf Gleichung 2.43? Ich habe die Klammer zur Potenz von e übersehen, die ich korrigiert habe.
@ConfusinglyCuriousTheThird Es ist nur der Laplacesche Teil der Wellengleichung, der in diesem Teil des Buches diskutiert wird. Ich werde die Frage bearbeiten, um sie zu klären.
@ rnr1410 Die Lösung wird durch Trennung von Variablen erhalten. Das Problem, das ich frage, ist, warum das 'i' an 'cos (kr)' anstelle von 'sin (kr)' angehängt ist.

Antworten (1)

Ich denke, die Antwort ist, dass die beiden Ausdrücke gleich sind. In ihrer Lösung ist phi nur eine Phasenverschiebung, und in Ihrer ist die Multiplikation mit i nur eine 180-Grad-Phasenverschiebung, also erhalten Sie ihre, wenn phi=pi/2. Außerdem hat ihr vorderer Koeffizient einen nicht spezifizierten Faktor, und Sie könnten ihren Faktor mit Ihrem übereinstimmen lassen. Mit anderen Worten, wenn ihr Phi_max umgekehrt proportional zu k ist und wenn ihr phi = pi ist, dann sieht ihr Ausdruck genauso aus wie deiner, also scheint es, als wäre er genau wie deiner.

Die Lösung des 2D-Laplace-Operators in Polarkoordinaten ergibt eine komplexe Lösung
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v