Der allgegenwärtige Planewave-Ansatz

In vielen Fällen werden unsere Systeme durch lineare Differentialgleichungen beschrieben, und diese haben die Eigenschaft, dass jede Linearkombination von Lösungen der Differentialgleichung auch eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Dies ist nützlich, da normalerweise jede beliebige Lösung Fourier-transformiert werden kann, um sie als Summe ebener Wellen auszudrücken. Wenn wir also ebene Wellenlösungen für unsere LDE finden, können wir sie kombinieren, um kompliziertere Lösungen zu schaffen.

John hat dies teilweise beantwortet, jedoch fehlt die grundlegende mathematische Idee:

Wenn wir uns vorstellen, dass eine Funktion Mitglied eines Vektorraums ist, dann existieren Basisvektoren. Dieses Konzept ist Ihnen sicherlich aus der Quantenmechanik bekannt.

Aber auch von dort erinnern wir uns, dass Probleme viel einfacher zu handhaben waren, wenn wir die Eigenbasis der Operatoren kennen, die wir auf Funktionen werfen. Dann ändern wir einfach die Basis der Funktionen in die Operatoren Eigenbasis und fertig.

Wie machen wir das? Wie konstruieren wir den Eigenraum für Differentialoperatoren, die Differentialgleichungen bilden? Lassen Sie uns darüber nachdenken ... Lassen Sie uns zuerst das Eigenwertproblem in abstrakter Notation formulieren

$$\hat{O} f=cf$$ und setzen Sie dann das ein, was wir verwenden $\hat{O} = d/dx$: $$\frac{df}{dx} = c f$$ Und wir sehen sofort, dass dies eine bekannte Gleichung ist! Wofür ist die Lösung $f \sim exp(cx)$

Daher wissen wir, dass, wenn wir uns mit linearen Differentialoperatoren befassen, eine exponentielle Basis unsere Berechnungen immer erleichtern wird. Alles, was wir tun müssen, ist, die richtigen Argumente zu verwenden$c$um die Reihenfolge der Gleichung anzupassen (dh addieren Sie einige$i$s oder$\pm$).

Die Freiheit in der Wahl$c$denn diese noch funktionierende Methode hat dann nicht nur zur Fourier-Transformation und ihren von John beschriebenen Eigenschaften geführt, sondern auch zur Laplace-Transformation .

Durch Wählen$c$passenderweise machen wir natürlich auch eine 'begründete Vermutung' über die Form unserer exponentiellen Lösung. Zum Beispiel ein DEQ

$$\partial_t^2 f + \partial_x^2 f=0$$ geben oszillierende Lösungen für $c=i(kx \pm \omega t)$, sondern etwas, das einen "Startpunkt" hat und dann für echte cs zerfällt oder wächst. Das ist die Idee einer Laplace-Transformation. Sie können die Beispiele auch auf der Wikipage nachschlagen (nach unten scrollen).

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Zu deiner anderen Frage:

Der Plane-Wave-Ansatz versagt sicherlich, sobald Nichtlinearitäten in die Differentialgleichung eingehen, wie diese maximal vereinfachte 1-D Navier-Stokes-Gleichung:

$$\partial_t v + v \partial_x v = 0$$ Schon jeder Versuch, eine Fourier-Transformation zu verwenden $v$führt nicht zu einer algebraisch lösbaren Gleichung.
Numerische Modellierer gehen dieses Problem ee durch pseudospektrale Verfahren an, bei denen die gesamte Gleichung mit Ausnahme von Nichtlinearitäten Fourier-transformiert wird. Diese werden im Realraum berechnet und später numerisch transformiert.

Das andere von Ihnen erwähnte Problem der Unendlichkeit kann auch als Skalenproblem angesehen werden: Mit einer Box-Größe$L$auf dem Sie Ihr Problem lösen wollen, erhalten Sie immer Diskretisierungseffekte der Wellen, die in dieser Box herumwackeln. Wenn jedoch die Wellenzahlen$k << L$dann ist deine Wellendichte hoch genug, um noch ein physikalisch sinnvolles Ergebnis erzielen zu können. Die Korrektheit steigt dann, je besser obige Bedingung erfüllt ist.

Es gibt einige Situationen, in denen der Ebene-Wellen-Ansatz nützlich ist. Es ist eine Lösung für viele Wellengleichungen. Ebene Wellen sind ebenfalls bekannt und wir haben mathematische Techniken, um sie zu handhaben, wie zum Beispiel Fourier-Reihen.

Allerdings kann man mit dem Planewave-Ansatz in manchen Situationen ganz schön daneben liegen. Insbesondere wenn die Welle mit einer Struktur interagiert, die Merkmale in der Größenordnung der Wellenlänge aufweist, können Sie ein Problem haben. Ich werde den Fall von Beugungsgittern erörtern, wo dieses Thema ausführlich diskutiert wurde. Einiges davon kann auf jedes Problem zutreffen, an dem Sie interessiert sind.

Betrachten Sie den Fall eines auf ein Beugungsgitter einfallenden elektromagnetischen Feldes mit einer Periode ähnlich der des einfallenden Feldes und einer Tiefe ähnlich seiner Wellenlänge. Das Feld in der Nähe dieser Struktur hat oft eine ebene Wellenausdehnung, die sich nicht gut verhält. Angenommen, die Ausdehnung der ebenen Welle hat Amplituden$\alpha_j$für$j = 1\dots\infty$. Die Folge von$\alpha_j$ist konvergent, wenn$\lim_{j\to\infty} = \alpha$für einige endlich$\alpha$. Wenn Sie eine endliche Menge dieser Terme nehmen und sie addieren, dann haben Sie eine Reihe$A_N = \sum_{j=1}^N\alpha_j$. Diese Reihe ist konvergent, falls$\lim_{N\to\infty} = A$für einige endlich$A$. Im Allgemeinen kann die Folge konvergieren, während die Reihe divergiert oder umgekehrt. Oder sie konvergieren zu unterschiedlichen Werten. Sehen

JP Hugonin, R. Petit und M. Cadilhac, "Expansion ebener Wellen zur Beschreibung des von einem Gitter gebeugten Feldes", JOSA, Vol. 3, No. 71, Heft 5, S. 593-598 (1981)

für weitere Diskussionen.

In Fällen, in denen ebene Wellenmethoden zur Berechnung von interessierenden Größen nicht funktionieren, können andere Methoden nützlich sein. Beispielsweise das Chandezon-Verfahren zum Berechnen des Feldes, das durch ein Gitter mit einem glatten Profil ungeachtet der Tiefe des Gitters gebeugt wird. Das Chandezon-Verfahren beinhaltet das Umschreiben der Maxwell-Gleichungen in einem Koordinatensystem, in dem das Gitter flach ist, und das anschließende Erweitern der Welle in diesem Koordinatensystem. Für eine Diskussion darüber, wie die Chandezon-Methode implementiert wird, siehe

Lifeng Li, Jean Chandezon, Gérard Granet und Jean-Pierre Plumey, "Rigorose und effiziente Gitteranalysemethode leicht gemacht für Optikingenieure", Applied Optics, Vol. 38, Ausgabe 2, S. 304–313 (1999).

Für einen Vergleich zwischen dem Chandezon-Verfahren und dem Expansionsverfahren mit ebenen Wellen siehe

http://www.ip.univ-bpclermont.fr/Personnel/Kofi.Edee/rayleih_method_C.pdf .