Ableitung der Greenschen Funktion für die Wellengleichung

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Ableitung der Greenschen Funktion für die Wellengleichung

Wellen
Physik
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xyz

Im Lehrbuch Modern Methods in Analytical Acoustics (Crighton-1992, Amazon-Link zur Ausgabe 2013 ) wird im Folgenden die 3D- Green-Funktion im Zeitbereich mit dem Frequenzbereich in Beziehung gesetzt $g(x-y)$ :

\begin{aligned} G (X - j) & = - \frac{C^{2}}{4 π C R} \int_{- \infty}^{\infty} δ (R - C T) e^{ich ω T} D T, R = | X - j | \\ (2.158) & = - \frac{1}{4 π R} e^{ich k_{0} T}, \end{aligned}

$\begin{align} g\left(\mathbf{x-y}\right)&=-\frac{c^2}{4\pi cr}\int_{-\infty}^\infty\delta\left(r-ct\right)e^{i\omega t}\,dt,\qquad r=\left|\mathbf{x-y}\right|\\ &=-\frac{1}{4\pi r}e^{ik_0t},\tag{2.158} \end{align}$

Ich kann nicht sehen, wie die Integration die Variable c eliminiert hat. Mir sollte die Integration überlassen werden $e^{i k_0 r}$ Wo $k_0=\omega/c$ und dann sollte die Antwort sein

G (X - j) = - \frac{C}{4 π R} e^{ich k_{0} R}

$g(\mathbf{x-y}) = -\frac{c}{4 \pi r} e^{i k_0 r}$ von denen ich weiß, dass sie um einen Faktor c falsch sind.

Ist der Text falsch? Und wenn ja, wie leite ich dann den richtigen Ausdruck für ab $g(\mathbf{x-y})$ ?

Beachten Sie das $-c^2$ Faktor wird verwendet, um die Green-Funktion in Beziehung zu setzen $G(x,y,t) = \frac{\delta(r-ct)}{4 \pi c r}$ für die Gleichung

(\frac{\partial^{2}}{\partial T^{2}} - C^{2} \nabla^{2}) G (X, j, T) = δ | X - j |

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2) G(x,y,t) = \delta |x-y|$ zur reduzierten Wellengleichung:

(\nabla^{2} + k_{0}^{2}) G (X, j, ω) = - \frac{1}{C^{2}} δ | X - j |

$( \nabla^2 + k_0^2) G(x,y,\omega) = -\frac{1}{c^2} \delta |x-y|$

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Ableitung der Greenschen Funktion für die Wellengleichung

MüllcontainerDoofus · Answer 1

MüllcontainerDoofus

In Mathematica:

Refine[-(c^2/(4 π c r)) Integrate[
  DiracDelta[r - c t] Exp[I ω t], {t, -∞, ∞}], 
    Assumptions -> {r ∈ Reals, c > 0}]

Die Ausgabe ist

- \frac{e^{\frac{ich R ω}{C}}}{4 π R} = - \frac{e^{ich R k_{0}}}{4 π R}

$-\frac{e^{\frac{i r \omega }{c}}}{4 \pi r}=-\frac{e^{irk_0}}{4 \pi r}$ Der zusätzliche Faktor von

c

$c$ entfällt seit dem

δ

$\delta$ Funktion hat ein Argument von

c t

$ct$ .

xyz

Ich bin immer noch verblüfft über das Ergebnis. Meine Logik ist:

δ (r - c t) = δ (t - r / c)

$\delta(r-ct) = \delta(t-r/c)$ und damit durch die Übersetzungseigenschaft der Deltafunktion

\int_{- \infty}^{\infty} e^{i ω t} δ (t - r / c) d t = e^{i ω r / c} = e^{i k_{0} r}

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} \delta (t-r/c) \, dt = e^{i \omega r/c} = e^{i k_0 r}$ ?

MüllcontainerDoofus

@ James: Das Problem ist

f (t) = δ (r - c t) \neq δ (t - r / c)

$f(t)=\delta(r-ct) \neq \delta(t-r/c)$ . Eher,

f (t) = δ (r - c t) = c^{- 1} δ (t - r / c)

$f(t)=\delta(r-ct) = c^{-1}\delta(t-r/c)$ .

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MüllcontainerDoofus

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MüllcontainerDoofus

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