Greens-Funktion für die Helmholtz-Gleichung

Das Integral ist nicht schwer! Die Maßnahme$d^3p$ist gleich$|p|^2d|p|\, d(\cos \theta) d\phi$und das Exponential$\exp\{-i{\bf p}\cdot ({\bf x}-{\bf x}')\}$Ist$\exp\{-i |p| |{\bf x}-{\bf x}'|\cos\theta\}$, also ist alles ein einfaches Integral über entkoppelte Skalare.

Das sollen wir zeigen

$$G(|x|)= \int_{{\mathbb R}^3}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{e^{i{\bf p}\cdot {\bf x}}}{|{\bf p}|^2+m^2 } = \frac 1{4\pi|{\bf x}|} e^{-m{|\bf x}|}$$ (Beachten Sie, dass die OP-Gleichung nicht ganz korrekt ist: Es gibt keine $i$im Exponenten auf der rechten Seite, wenn sein $k^2$(Mein $m^2$) ist positiv). Wir verwenden das Maß, das ich oben angegeben habe, um die Integrale über die Winkel zu berechnen $\theta$Und $\phi$um zu sehen, dass dies gleich ist $$G(|{\bf x}|)=C \frac 1{|{\bf x}|}\int_0^\infty d|p| \frac{|{\bf p}| \sin |{\bf p}||{\bf x}|}{|{\bf p}|^2+m^2}$$ für einige konstant $C$. Wir müssen das Lemma von Jordan nicht verwenden, um das verbleibende Integral zu machen. Wir beobachten, dass das elementare Integral $$\int_0^\infty e^{-mx}\sin (px) \, dx= \frac p{p^2+m^2}$$ ist eine Halbzeilen-Fourier-Transformation und das Gewünschte $|{\bf p}|$Integral ist seine inverse Fourier-Transformation.

Wenn die OP ist$k^2$negativ wird, haben wir eine Wellengleichung. Dies hat keine eindeutige Green-Funktion, und in diesem Fall gibt es Singularitäten auf der Integrationskontur des Finales$|{\bf p}|$Integral. Wie wir die Kontur um sie herum routen, indem wir hinzufügen$\pm i\epsilon$Na dann bestimmt ob wir tauschen$m$von$i|k|$oder$-i|k|$und physikalisch bezieht sich auf ausgehende Wellen (und eine kausale Green-Funktion) oder eingehende Wellen (und eine antikausale Green-Funktion). In diesem Fall sind einige Kenntnisse über komplexe Variablentechniken nützlich, aber immer noch nicht notwendig, da wir immer noch eine Fourier-Transformation invertieren können.