Null als Lösung für die 1D-Wellengleichung erhalten

Question

Null als Lösung für die 1D-Wellengleichung erhalten

Wellen
Physik
Fourier-Transformation
Differentialgleichung
Hausaufgaben-und-Übungen

Ognjan Petkow

Ich habe ein Beispiel für eine 1D-Wellengleichung mit gegebenem BC und IC durch Trennung von Variablen und Fourier-Reihen gelöst.

\frac{\partial^{2} u}{\partial T^{2}} = C^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}}

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

B C : u (0, T) = u (l, T) = 0

$BC: u(0,t)=u(l,t)=0$

ICH C : u (X, 0) = Sünde (\frac{π}{l} X)

$IC:u(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{l} x\right)$

\partial_{T} u (X, 0) = 0

$\partial_tu(x,0)=0$ Durch Trennen der Variablen und Lösen des Eigenwertproblems mit dem BC und Lösen der Zeit-ODE erhalte ich die allgemeine Lösung für u(x,t).

u (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} [A_{N} \cos (ω_{N} T) Sünde (\frac{N π}{l} X) + B_{N} Sünde (ω_{N} T) Sünde (\frac{N π}{l} X)]

$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[A_n \cos(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)+B_n\sin(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]$ Ableitung nehmen

\frac{\partial u}{\partial T} = \sum_{N = 1}^{\infty} [- ω_{N} A_{N} Sünde (ω_{N} T) Sünde (\frac{N π}{l} X) + ω_{N} B_{N} \cos (ω_{N} T) Sünde (\frac{N π}{l} X)]

$\frac{\partial u} {\partial t}=\sum_{n=1}^\infty\left[-\omega_nA_n \sin\left(\omega_nt\right)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)+\omega_nB_n\cos(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]$ und das IC anwenden, das ich bekam

\partial_{T} u (X, 0) = 0 = \sum_{N = 1}^{\infty} ω_{N} B_{N} Sünde (\frac{N π}{l} X) ⟶ B_{N} = 0

$\partial_tu(x,0)=0=\sum_{n=1}^\infty\omega_nB_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \longrightarrow B_n=0$ da das Integral 0 ist. Anwendung des anderen IC:

u (X, 0) = Sünde (\frac{π}{l} X) = \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} Sünde (\frac{N π}{l} X)

$u(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{l} x\right)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)$ Wenn ich den Fourier-Koeffizienten finde (verwendet Wolframalpha, um das Integral zu lösen), bekomme ich:

A_{N} = \frac{2 Sünde (N π)}{π (N^{2} - 1)}

$A_n=\frac{2\sin(n\pi)}{\pi(n^2-1)}$ Und da

\sin (n π) = 0

$\sin(n\pi)=0$ für jede ganze Zahl

n

$n$ meine Lösung wird

u (x, t) = 0

$u(x,t)=0$ Übersehe ich etwas? Oder was bedeutet die Antwort physikalisch? Es gibt keine Modi?

David z

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AccidentalTaylorExpansion · Answer 1

Ihre Lösung $A_n$ ist nicht null für alle $n$ . Wenn Sie sich Ihre Anfangsbedingungen ansehen, erwarten Sie möglicherweise, dass es nur einen Koeffizienten ungleich Null gibt, da der IC bereits die Form einer Sinuswelle hat. Wenn $n=1$ du erhältst $\frac 0 0$ Sie müssen also besonders vorsichtig sein. Bewertung Ihrer Lösung für $A_n$ als Grenze:

lim_{N \to 1} \frac{2 Sünde N π}{π (N^{2} - 1)} = - 1

$\lim_{n\rightarrow 1}\frac{2\sin n\pi}{\pi(n^2-1)}=-1$ Ich vermute, dass das Integral einen Fehler enthält, da die Antwort +1 sein sollte. Alternativ könnte man sofort aus sehen

Sünde (\frac{π}{l} X) = \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} Sünde (\frac{N π}{l} X)

$\sin\left(\frac \pi l x\right)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac {n\pi} l x\right)$ Das

A_{n} = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}

$A_n=\cases{1&$n=1$\\0 &$n\neq 1$}$

Vielen Dank! :) Ich habe übersehen, dass mein IC auf der gleichen Basis ausgebaut ist und ich einfach vergleichen kann.

Roger Wadim · Answer 2

Wolframalpha dürfte hier für Verwirrung sorgen: Die Anfangsbedingung ist der Begriff mit $n=1$ , dh $A_1 = 1$ , während alle anderen sind $A_n=0$ . Die Gleichung für die Anfangsbedingung ist eine Gleichung mit unendlich vielen Unbekannten in der rechten Seite - kein Wunder, dass eine automatische Routine dort eine irrelevante Antwort gibt.

Oh! Ich muss für den Koeffizienten nicht erweitern, da der IC bereits in der Basis erweitert ist, die ich für die Erweiterung verwende. Also brauche ich das Integral überhaupt nicht zu lösen. Da alle Koeffizienten außer n=1 0 sind, lautet meine Lösung $u (X, T) = C Ö S (ω_{1} T) S ich N (\frac{π X}{l})$ $u(x,t)=cos(\omega_1t)sin(\frac {\pi x}{l})$ . Ist das richtig? Das heißt, ich habe einen Modus.

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