Manipulieren von hypergeometrischen Funktionen

Ich habe eine Differentialgleichung:

( F Φ ' ) ' − l ( l + 1 ) R 2 Φ = 0 ,

die ich mit einem Programm gelöst habe, das nachgibt

Φ ( R ) = C 1 ( R R ) 2 2 F 1 ( 1 − l , 2 + l , 3 , R R ) .

Obwohl dies technisch funktioniert, möchte ich, dass dies in der folgenden Form erfolgt:

Φ < ( R ) = C 1 ( R R 0 ) l + 1 2 F 1 ( − l − 1 , − l + 1 , − 2 l , R R )
Wenn R < R 0

Und

Φ > ( R ) = C 2 ( R 0 R ) l 2 F 1 ( l , l + 2 , 2 l + 2 , R R )
Wenn R > R 0

für eine beliebige Entfernung R 0 > R . Auch, F = 1 − R R .

Beide oben genannten Funktionen erfüllen meine Differentialgleichung, also muss es eine Möglichkeit geben, jede dieser Funktionen in Bezug auf diejenige zu schreiben, die mein Programm gefunden hat. Kann mir jemand ein paar Hinweise geben? Für einen kleinen zusätzlichen Kontext entspricht meine Lösung dem Potenzial, dass sich ein Teilchen außerhalb eines Schwarzen Lochs in der Schwarzschild-Raumzeit anfühlt R ist der Ort des Ereignishorizonts und R 0 ist die momentane Position des Teilchens.

Dies ist eine gut geschriebene Frage, aber gibt es kein Papier, das Ihr GR-Problem untersucht? (Vielleicht habe ich Ihre Beschreibung nicht allzu gut verstanden - aber es klingt wie ein Standard-GR-Problem).

Antworten (2)

Ich denke, Sie wollen die Verbindungsformeln, die Lösungen über die drei regulären singulären Punkte miteinander verknüpfen. Es gibt eine kurze Diskussion ab Seite 408 meiner Vorlesungsunterlagen:

http://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2017/bmaster.pdf

He, das ist toll! Ich wollte schon seit Jahren mehr Zeug (mathematische Fakten und Intuition statt unverständlicher Formeln) über Hypergeometrie finden, außer das, was Mathematica als Lösung für lineare DE zweiter Ordnung ausspuckt und nicht dazu gekommen ist. Sie sehen auch aus wie ziemlich große Noten
Während dies die Frage theoretisch beantworten kann, wäre es vorzuziehen , die wesentlichen Teile der Antwort hier aufzunehmen und den Link als Referenz bereitzustellen.

Mit einer Auswechslung X ≡ R / R man kann die ODE in eine hypergeometrische Gleichung umwandeln:

X ( 1 − X ) ϕ ″ ( X ) − ϕ ' ( X ) + l ( l + 1 ) ϕ ( X ) = 0.
Dies entspricht ( A , B , C ) = ( − 1 − l , l , − 1 ) oder gleichwertig ( l , − 1 − l , − 1 ) . Die hypergeometrische ODE hat zwei lineare unabhängige Lösungen ϕ 1 Und ϕ 2 .

Für | X | < 1 Und C ≠ 0 , 1 , 2 , … :

ϕ 1 < ( X ) = 2 F 1 ( A , B , C , X )
ϕ 2 < ( X ) = X 1 − C 2 F 1 ( A − C + 1 , B − C + 1 , 2 − C , X )

Für | X | > 1 Und A − B ≠ 0 , 1 , 2 , … :

ϕ 1 > ( X ) = X − A 2 F 1 ( A , A − C + 1 , A − B + 1 , X − 1 )
ϕ 2 > ( X ) = X − B 2 F 1 ( B , B − C + 1 , B − A + 1 , X − 1 )

Einstecken der Definition für X und die Werte von ( A , B , C ) man kann die Lösungen bekommen, nach denen OP sucht. Ich kann A. Jeffrey und H. Dai - 2008 - Handbook of mathematische Formeln und Integrale - 4. Aufl. empfehlen . Die Formeln, die ich gegeben habe, stammen aus diesem Buch sek. 22.17.

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