Effektives Potenzial für die Kerr-Geometrie

In der Übersicht Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory definieren die Autoren ein effektives Potenzial für die Kerr-Geometrie als (Kap. 2, Gl. 23)

U e F F = − 1 2 ln ⁡ | G T T − 2 l G T ϕ + l 2 G ϕ ϕ |
Wo l = L E = − u ϕ u T ist der spezifische Drehimpuls, L = P ϕ ist der Drehimpuls und E = − P T ist die Energie.

Es wird erwähnt, dass diese Form des Potentials wegen der Nutzung des Potentials gewählt wird U e F F , die umskalierte Energie E ∗ = ln ⁡ E Und v = u R u R + u θ u θ << u ϕ u ϕ , kann eine leicht unrunde Bewegung durch die Gleichung charakterisiert werden

1 2 v 2 = E ∗ − U e F F

Die Form dieser Gleichung ähnelt tatsächlich der der Newtonschen Gleichung. Über die Ableitung des effektiven Potentials wurde in dem Papier jedoch nichts erwähnt. Außerdem konnte ich nicht verstehen, warum sie die Energie neu skaliert haben E ∗ = ln ⁡ E .

Meine Fragen:

  1. Wie man das effektive Potenzial ableitet U e F F ? Hinweise zur Herleitung würden genügen.
  2. Welche Logik steckt hinter der Skalierung der eingesparten Energie? E ∗ = ln ⁡ E ?

Antworten (1)

Nehmen Sie die Vier-Geschwindigkeits-Normalisierung u μ u μ = − 1 und schreibe es aus als

1 + u R u R + u ϑ u ϑ = − G T T u T 2 − 2 G T φ u T u φ − G φ φ u φ 2
Schreiben Sie dies nun in Bezug auf um E = − u T , ℓ = − u φ / u T , logarithmieren Sie die Gleichung und verwenden Sie die Eigenschaften ln ⁡ ( X j ) = ln ⁡ ( X ) + ln ⁡ ( j ) Und ln ⁡ ( 1 + X ) = X + Ö ( X 2 ) . Die Quantität E ∗ wird nur verwendet, weil es additiv ist und tatsächlich die spezifische Newtonsche Energie ohne den Restmassenterm in der Newtonschen Grenze ist.

Ich überlasse es dem lieben Leser als Übung, dass die Minima des Potentials U e F F eigentlich auch Kreisbahnen entsprechen.

Danke. Ich hatte das Ergebnis hergeleitet. Als ich jedoch dieses effektive Potential verwendete, um die marginal gebundenen und marginal stabilen Umlaufbahnen zu finden, stellte ich fest, dass die marginal gebundene Umlaufbahn genau mit dem exakten Kerr-Potential übereinstimmt, aber die marginal stabile Umlaufbahn etwas anders ist. Was könnte der mögliche Grund dafür sein?
Sie sollten genau gleich sein, ich glaube, der Fehler könnte in der Eingabe der analytischen Formel für den ISCO (es ist ein bisschen kompliziert) oder in einer Art numerischen Fehler liegen. Ich hatte überprüft, ob die Formel von Abramowicz & Fragile in der lebenden Bewertung korrekt ist.
Effektives Potenzial für die Kerr-Geometrie
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