Fluchtgeschwindigkeit aus einem rotierenden Schwarzen Loch

Question

Fluchtgeschwindigkeit aus einem rotierenden Schwarzen Loch

Physik
Kerr-Metrik
Fluchtgeschwindigkeit
generelle Relativität
Kerr-Newman-Metrik
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Yukterez

Unter Newton ist die Fluchtgeschwindigkeit

v_{e S C} = C \sqrt{R_{S} / R}

$v_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}$

Wo $\rm r_s=2 \ GM/c^2$ . Im nichtrotierenden relativistischen Fall (dem Schwarzschild-Fall) ist die radiale Fluchtgeschwindigkeit gleich:

v_{e S C}^{∥} = C \sqrt{R_{S} / R}

$v^{\parallel}_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}$

das ist die Lichtgeschwindigkeit, $v={\rm c}$ , am Ereignishorizont bei $\rm r=r_s$ . Da die Photonenkugel, wo ein Objekt mit $v={\rm c}$ nicht entkommen, sondern in den Orbit gefangen werden würde, ist bei $r=3 \ {\rm GM/c^2}$ , die Queraustrittsgeschwindigkeit ist

v_{e S C}^{⊥} = C \sqrt{R_{S} / R} \div \sqrt{1 - R_{S} / R}

$v^{\perp}_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}\div \sqrt{1-r_s/r}$

und für die beobachtete (Shapiro-verzögerte) Geschwindigkeit ${\rm v}$ die Verwandlung ist

v^{⊥} = v^{⊥} \sqrt{1 - R_{S} / R}, v^{∥} = v^{∥} (1 - R_{S} / R)

${\rm v}^{\perp}=v^{\perp} \ \sqrt{\rm 1-r_s/r} \ , \ \ {\rm v}^{\parallel}=v^{\parallel} \ (\rm 1-r_s/r)$

die beobachtete Winkelbewegung ist also dieselbe wie bei Newton, jedoch lokal höher, während die beobachtete radiale Bewegung aufgrund der radialen Längenkontraktion und Zeitdilatation verlangsamt ist.

Aber was ist mit dem Kerr-Fall, wo die Rotation signifikant ist und der Ereignishorizont liegt $\rm r=(1+\sqrt{1-a^2}) \ {\rm GM/c^2}$ anstatt $\rm r=r_s$ ?

Ein Testteilchen, das lokal ruht und daher mit der Winkelgeschwindigkeit des Rahmens mitrotiert

Ω = D ϕ / D T = 2 A R / ((A^{2} + R^{2})^{2} - A^{2} (A^{2} + (R - 2) R) {Sünde}^{2} (θ))

${\Omega = \rm d \phi/ {\rm d t} = {\rm 2 \ a \ r/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2+(r-2) \ r) \sin ^2(\theta ))}}$

sollte den Zeitdilatationsfaktor erfahren

\dot{T} = D T / D τ = \sqrt{((A^{2} + (R - 2) R) (A^{2} \cos^{2} (θ) + R^{2})) / ((A^{2} + R^{2})^{2} - A^{2} (A^{2} + (R - 2) R) {Sünde}^{2} (θ))}

$\rm \dot t = {\rm d t}/ {\rm d}\tau = \sqrt{{\rm ((a^2+(r-2) \ r) (a^2 \cos ^2(\theta )+r^2))/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2+(r-2) \ r) \sin ^2(\theta ))}}$

relativ zum fernen Beobachter, also multiplizierend $\Omega$ mit $\rm \dot t$ sollte die lokale Frame-Schlepp-Winkelgeschwindigkeit ergeben, die multipliziert mit der $\rm \sqrt{x^2+y^2}$ Wert der Boyer-Lindquist-zu-kartesischen Transformation sollte die Quergeschwindigkeit ergeben - diese liegt leicht darunter $\rm c$ für ein maximal rotierendes Schwarzes Loch (mit $\rm a = 1$ - am Rand der äußeren äquatorialen Ergosphäre, wo $\rm r=1$ Und $\rm R=\sqrt{r^2+a^2}$ ).

Aber wie finde ich die radiale und totale Fluchtgeschwindigkeit und was sind die Regeln, um die Shapiro-verzögerten Koordinatengeschwindigkeiten umzuwandeln? $\rm d r/d t \ , \ d \phi/d t \ , d \theta/d t$ zu den lokalen 3-Geschwindigkeitskomponenten $v^{\parallel}$ Und $v^{\perp}$ eines Testpartikels (lokale Bedeutung relativ zu einer rahmengezogenen Sonde mit contant $\rm r$ )? Die radiale Längenkontraktion scheint etwas anders zu sein als im Schwarzschild-Fall, wo sie gleich dem gravitativen Zeitdilatationsfaktor ist ...

Antworten (2)

Fluchtgeschwindigkeit aus einem rotierenden Schwarzen Loch

Yukterez · Answer 1

Noch 2 Stunden, um das Kopfgeld zu vergeben, aber bisher keine Antwort. Zumindest habe ich herausgefunden, dass die lokale 3-Geschwindigkeit

v = \sqrt{v_{R}^{2} + v_{θ}^{2} - v_{ϕ}^{2}} = \sqrt{v_{X}^{2} + v_{j}^{2} - v_{z}^{2}}

$\rm v=\sqrt{v_r^2+v_{\theta}^2-v_{\phi}^2}=\sqrt{v_x^2+v_y^2-v_z^2}$ bezieht sich auf die Koordinatenableitungen

\dot{R}, \dot{θ}, \dot{ϕ}

$\rm \dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi$ von

\frac{v_{R}}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \dot{R} \sqrt{\frac{Σ}{Δ}}

$\rm \frac{v_{r}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot r \ \sqrt{\frac{\Sigma}{\Delta}}$ für die radiale Komponente,

\frac{v_{θ} \sqrt{Σ}}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \dot{θ} Σ

$\rm \frac{v_{\theta} \ \sqrt{\Sigma}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot \theta \ \Sigma$ mit dem Kreiselradius

\bar{R} = \sqrt{\frac{{(A^{2} + R^{2})}^{2} - A^{2} Δ {Sünde}^{2} θ}{A^{2} \cos^{2} θ + R^{2}}}

$\bar R = \sqrt{\frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \Delta \sin ^2 \theta }{a^2 \cos ^2 \theta +r^2}}$ für die Bewegung entlang des Breitengrades und

\frac{v_{ϕ} \bar{R}}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \dot{ϕ} Σ

$\rm \frac{v_{\phi} \ \bar{R}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot \phi \ \Sigma$ für die Bewegung entlang der Symmetrieachse mit den Termen

Σ = R^{2} + A^{2} \cos^{2} θ, Δ = R^{2} - 2 R + A^{2}

$\rm \Sigma = r^2 + a^2 \cos^{2} \theta, \quad \Delta = r^2 - 2 \ r + a^2$ Und

x, y, z

$\rm x, \ y, \ z$ als kartesische Transformation der Boyer-Lindquist-Koordinaten.

Mit der gravitativen Zeitdilatation

ς = \sqrt{\frac{{(A^{2} + R^{2})}^{2} - A^{2} (A^{2} + (R - 2) R) {Sünde}^{2} (θ)}{(A^{2} + (R - 2) R) (A^{2} \cos^{2} (θ) + R^{2})}}

$\rm \varsigma =\sqrt{\frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \left(a^2+(r-2) r\right) \sin ^2(\theta )}{\left(a^2+(r-2) r\right) \left(a^2 \cos ^2(\theta )+r^2\right)}}$

Und

ς = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{e S C}^{2}}}

$\rm \varsigma = \frac{1}{\sqrt{1-v_{esc}^2 }}$

sollte die radiale Austrittsgeschwindigkeit sein

v_{e S C} = \frac{\sqrt{ς^{2} - 1}}{ς}

$\rm v_{esc}=\frac{\sqrt{\varsigma ^2-1}}{\varsigma }$

die, in der Grenze von $a\to 0$ liefert das gleiche Ergebnis wie Schwarzschild.

Beispiel für einen Testpartikel, der von einem dicht über dem Horizont bei θ=45° sitzenden, mitrotierenden ZAMO mit der lokalen Fluchtgeschwindigkeit radial nach oben geschleudert wird:

(Der Spin-Parameter in der Animation ist a=Jc/G/M²=0,998)

Können Sie die Einheiten von erklären? $r$ . Wird es als Vielfaches von ausgedrückt $2GM/c^2$ ?
r wird in Einheiten von 1GM/c² angegeben, wobei M die schwere Masse ist (nicht zu verwechseln mit der irreduziblen Masse).

Jerry Schirmer · Answer 2

Jerry Schirmer

Diese Frage hat eine komplexe Antwort, da die Kerr-Bahnen nicht so einfach integriert werden können wie die Schwarzschild-Bahnen. Ihre Antwort hängt davon ab, wo Sie am Horizont sitzen und in welche Richtung Sie sich bewegen. Ich weiß nicht wirklich, ob der Begriff der "Fluchtgeschwindigkeit" in der Relativitätstheorie wirklich so funktioniert wie klassisch, insbesondere im Fall eines Kerr-Lochs.

Yukterez

Die Beziehung zwischen gravitativer Zeitdilatation und Fluchtgeschwindigkeit funktioniert immer, also funktioniert sie natürlich auch in der Kerr-Raumzeit, siehe die vorletzte Gleichung unter en.wikipedia.org/wiki/… und für die Animation eines Objekts, das die Ergosphäre mit der Fluchtgeschwindigkeit verlässt aus verschiedenen Blickwinkeln siehe notizblock.yukterez.net/viewtopic.php?p=361#p361

Yukterez

Bei Schwarzschild kommt es übrigens schon auf den Winkel an, da oberhalb von r=2GM/c² (dem Ereignishorizont) ein Photon radial austreten kann, während unterhalb von r=3GM/c² (dem Photon) bereits ein transversales Photon eingefangen wird Kugel) auch im nicht rotierenden Fall. Die Fluchtgeschwindigkeit bezieht sich immer auf eine radiale Bewegung (im Kerr-Fall relativ zu einem lokalen ZAMO), nur unter Newton spielt die Richtung keine Rolle.

Yukterez

Aber Sie haben Recht, die Antwort hängt davon ab, wo Sie sitzen, daher die Abhängigkeit von θ in der Gleichung für ς und v_esc.

Jerry Schirmer

@СимонТыран: OK, wenn Sie mit einer "Fluchtgeschwindigkeit" einverstanden sind, die eine Abhängigkeit von sechs Parametern (Radius vom Stern, Winkelposition und drei Geschwindigkeitskomponenten) aufweist, können Sie sie wohl definieren. Aber das ist in meinen Augen kaum eine "Fluchtgeschwindigkeit", denn der Schlüsselteil dieses Konzepts ist für mich die Richtungsunabhängigkeit.

Yukterez

Richtungsunabhängigkeit bekommt man aber nicht, auch bei Schwarzschild gibt es eine Abhängigkeit. Wie Sie in der obigen Animation sehen können, behält das Testpartikel, wenn es mit v local = v escape beginnt, durchgehend v local = v escape bei. Die Tatsache, dass im ZAMO-Bezugssystem die Richtung rein radial sein muss, vereinfacht es ein wenig, wenn Sie die Anfangsgeschwindigkeit relativ zu ihm definieren, brauchen Sie sich nicht um andere Komponenten als radial zu kümmern. Sie können auch die Regel verwenden, wenn E Kinetik + E Potential = 0 und der Drehimpuls = 0, dies ergibt die radiale Fluchtgeschwindigkeit.

Yukterez

Übrigens ist eine Definition des Ereignishorizonts, dass die Fluchtgeschwindigkeit gegen c konvergiert (das gilt sowohl für Schwarzschild als auch für Kerr), also kann man sie durchaus Fluchtgeschwindigkeit nennen, obwohl sie auch in der vollen Symmetrie immer richtungsabhängig ist Fall Schwarzschild.

Jerry Schirmer

@СимонТыран: Ich würde es auch im Schwarzschild-Fall nicht "Fluchtgeschwindigkeit" nennen.

Yukterez

Aber wenn Sie nach "Schwarzschild-Fluchtgeschwindigkeit" googeln, finden Sie eine Reihe seriöser Quellen, die es genauso nennen, und mit der Definition auf Wikipedia: "In der Physik ist die Fluchtgeschwindigkeit die Mindestgeschwindigkeit, die erforderlich ist, damit ein Objekt entkommen kann der Gravitationseinfluss eines massiven Körpers" braucht es keine Winkelunabhängigkeit.

AVS

@СимонТыран: Mindestgeschwindigkeit impliziert die Minimierung über alle möglichen Winkel, daher ist dies eine winkelunabhängige Definition.

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