Wie ist die Beziehung zwischen Umlaufgeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit in stark relativistischen Situationen?

Die lokale Fluchtgeschwindigkeit ist

$$v_{esc} = \sqrt{\text{2 G M}/\text{r}}$$

Bei unendlich beobachten Sie, dass die Geschwindigkeit um einen Faktor von langsamer ist

$$1-\text{r}_s/\text{r}$$

also im Unendlichen beobachtest du

$$\text{v}_{esc} = \sqrt{\text{2 G M}/\text{r}} \cdot (1-\text{r}_s/\text{r})$$

wegen gravitativer Längenkontraktion radial zur Masse und gravitativer Zeitdilatation in alle Richtungen.

Die lokale Bahngeschwindigkeit ist

$$v_{orb} = \sqrt{\text{G M}/\text{r}}/\sqrt{1-\text{r}_s/\text{r}}$$

was bei unendlich beobachtet wird, um einen Faktor von langsamer zu sein

$$\sqrt{1-\text{r}_s/\text{r}}$$

Im Unendlichen beobachtest du einfach

$$\text{v}_{orb} = \sqrt{\text{G M}/\text{r}}$$

Der Beobachter im Unendlichen sollte also eine umlaufende Teilchenbahn mit ihrer Newtonschen Geschwindigkeit beobachten, während diese Geschwindigkeit lokal höher ist.

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Die Diagramme zeigen die Geschwindigkeiten in Form von v/c und die Schwarzschild-r-Koordinate in Einheiten von GM/c². Links ist das System eines lokalen Beobachters, und rechts würde ein Beobachter im Unendlichen die durch Shapiro verzögerten Geschwindigkeiten sehen.

Lokal entspricht die Fluchtgeschwindigkeit der Bahngeschwindigkeit bei r=4GM/c², während im Unendlichen ihre Gleichheit bei r=2·(2+√2)=6,8284GM/c² beobachtet wird.

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An der Photonenkugel würde ein lokaler Beobachter das umkreisende Teilchen mit c beobachten, während ein Beobachter im Unendlichen es um den Faktor √(1-2/3), also mit 0,577c, langsamer messen würde.

Ein entkommendes Teilchen in der Nähe des Ereignishorizonts würde eine lokale Radialgeschwindigkeit von c benötigen und für den Beobachter im Unendlichen scheinbar eine Geschwindigkeit von Null haben.

Die unterschiedlichen Faktoren für die radiale und die transversale Komponente sind auf die gravitative Längenkontraktion zurückzuführen, die nur in radialer Richtung erfolgt (es gibt mehr Radius innerhalb des Kreises als der Umfang geteilt durch 2π).

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Etwas zusammenfassen:

Lokal ist die radiale Fluchtgeschwindigkeit für Einstein dieselbe wie für Newton. Im Unendlichen wird es langsamer beobachtet.

Auch lokal ist die Winkelbahngeschwindigkeit für Einstein höher als für Newton, aber im Unendlichen wird beobachtet, dass sie dieselbe ist wie unter Newton.

Die Fluchtgeschwindigkeit kann niedriger sein als die Umlaufgeschwindigkeit, daher sind Umlaufbahnen in der Nähe der Photonenkugel in dem Sinne instabil, dass Sie ins Unendliche entkommen, wenn Ihre Geschwindigkeit nicht nur transversal ist, sondern sich in eine transversale und eine radiale Komponente aufteilt. Mit Newton würden Sie nur eine elliptische Umlaufbahn bekommen, wobei alles andere gleich bleibt.

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Radial:

Quer:

Vergleich mit Newton:

Der Index ist auf deutsch, aber ich bin sicher, dass Sie den lokalen finden werden$v$und das Äußere$\text{v}$(letzteres mit Shapiro-Verzögerung ).

Weiterführende Literatur: Bewegungsgleichung und Geodäsie, Seite 4, Gl. (9)

Code

Für ein durch die Schwarzschild-Metrik beschriebenes statisches Schwarzes Loch beträgt die Fluchtgeschwindigkeit:

$$v_e = c\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\sqrt{\frac{r_s}{r}} \tag{1}$$

und die Umlaufgeschwindigkeit ist:

$$v_o = c\sqrt{\frac{r_s}{2(r - r_s)}} \tag{2}$$

Wo$r_s$ist der Schwarzschild-Radius:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

Wenn wir diese grafisch darstellen, erhalten wir:

Notiere dass der$x$Achse ist in Einheiten von$r/r_s$dh$2$bedeutet$2r_s$,$3$bedeutet$3r_s$usw. Das Verhältnis$v_e/v_o$auf der linken Achse sind die Drehzahlen aufgetragen$v_e$Und$v_o$auf der rechten Achse.

Bei großen Entfernungen das Verhältnis$v_e/v_o$Ansätze$\sqrt{2}$, das ist der Newtonsche Wert, aber wenn wir uns dem Schwarzen Loch nähern, fällt das Verhältnis. Sie wird bei etwa kleiner als eins$r/r_s = 4.8$, und auf der letztmöglichen Umlaufbahn, wo die Umlaufgeschwindigkeit ist$c$es ist auf etwa gefallen$0.27$.

Dies erscheint auf den ersten Blick wahrscheinlich seltsam, aber es liegt an der bekannten Tatsache, dass jedes einfallende Objekt langsamer wird, wenn es sich dem Ereignishorizont nähert, und tatsächlich seine Geschwindigkeit am Horizont gegen Null tendiert. Das Objekt würde unendlich lange brauchen, um den Ereignishorizont zu erreichen, geschweige denn zu überqueren. Siehe die Frage Wie kann aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters jemals etwas in ein Schwarzes Loch fallen? mehr dazu.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich die Energie eines Testkörpers in einem kugelsymmetrischen Gravitationsfeld schreiben als:

$$E=mc^2\left(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})^2(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2})|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right).\tag1$$

oder gleichwertig:

$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})(\hat{r}\cdot\hat{v})^2)+|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right)\tag2$

Die Bedingung für die Fluchtgeschwindigkeit kann so angegeben werden, dass die Geschwindigkeit so sein muss, dass die Energie des Testkörpers die gleiche sein muss wie für ein im Unendlichen ruhendes Objekt,$E=mc^2$. Das ist dasselbe wie zu sagen, dass der Ausdruck innerhalb der Klammer gleich Eins sein muss. Für eine reine radiale Bewegung reduziert sich (2) auf:

$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})}}}\right)\tag3$

Damit dieser Ausdruck identisch ist mit$E=mc^2$im Unendlichen müssen wir haben:

$1-\frac{2GM}{rc^2}=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2(1-2GM/(rc^2))}}\tag4$

was die Fluchtgeschwindigkeit ergibt, wenn Sie sich zunächst in rein radialer Richtung bewegen als:

$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}(1-\frac{2GM}{rc^2})\tag5$

worauf bereits in anderen Antworten hingewiesen wurde. Wenn Sie stattdessen die Fluchtgeschwindigkeit wissen möchten, wenn Sie sich in einer rein nicht radialen Richtung bewegen, z. B. für eine kreisförmige Umlaufbahn, und wissen möchten, wie viel schneller Sie in die Richtung gehen müssen, in die Sie sich bereits bewegen, können Sie siehe, dass sich (2) in diesem Fall reduziert auf:

$$E=mc^2\left(\frac{1-\frac{2GM}{rc^2}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\tag6$$

Um (6) zu reduzieren$E=mc^2$im Unendlichen müssen wir haben:

$$1-\frac{2GM}{rc^2}=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}\tag7$$

Was die Fluchtgeschwindigkeit ergibt, wenn Sie in eine reine nicht radiale Richtung setzen als:

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}(1-\frac{2GM}{rc^2})}\tag8$$

Je nachdem, in welche Richtung Sie sich anfänglich bewegen, variiert der Ausdruck für die Fluchtgeschwindigkeit. In dieser Antwort gehe ich von einer Geschwindigkeit aus, die von einem entfernten Beobachter / in Koordinatenzeit gemessen wird.

Die Umlaufgeschwindigkeit für ein Objekt in kreisförmiger Umlaufbahn in Koordinatenzeit ist in GR dieselbe, wenn Sie wie klassisch sphärische Symmetrie haben:

$v=\sqrt{GM/r}\tag9$

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Bei der Photonenkugel beim 1,5-fachen des Schwarzschild-Radius beträgt die Umlaufgeschwindigkeit der Kreisbewegung in Koordinatenzeit (wie von einem entfernten Beobachter gesehen):

$v=c\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}$

Man kann sagen, dass dies gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, denn in Koordinatenzeit in einem kugelsymmetrischen Gravitationsfeld gilt:

$v_{light}=c(1-2GM/(rc^2))$

in radialer Richtung und:

$v_{light}=c\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}$

in der reinen nicht radialen Richtung.