Fluchtgeschwindigkeit für Schwarzschild-Metrik

Question

Fluchtgeschwindigkeit für Schwarzschild-Metrik

JCW

Ich kann die Lücken in meiner Lösung dazu nicht füllen und Unterstützung oder eine Referenz wären willkommen.

Die Frage beginnt mit der einfachen Ableitung des EoM für ein massives Teilchen, das in der Äquatorebene umkreist, wie

{(\frac{D u}{D ϕ})}^{2} = \frac{C^{2} k^{2}}{H^{2}} - a (\frac{C^{2}}{H^{2}} + u^{2})

$\left( \frac{du}{d\phi}\right)^2 = \frac{c^2 k^2}{h^2} - \alpha \left( \frac{c^2}{h^2} + u^2 \right)$ Wo

u = \frac{1}{r}

$u = \frac{1}{r}$ ,

h, k

$h, k$ sind Konstanten entstehen als

α \dot{t} = k

$\alpha \dot{t} = k$ Und

\dot{ϕ} = h u^{2}

$\dot{\phi} = h u^2$ , Und

α = 1 - \frac{r_{s}}{r}

$\alpha = 1-\frac{r_s}{r}$ Wo

r_{s}

$r_s$ ist der Schwarzschild-Radius.

Es sagt dann ein stationärer Experimentator bei Radius $a > r_s$ projiziert ein massives Teilchen mit Geschwindigkeit $v$ normal zur radialen Richtung, und bittet mich, dies in dem Fall zu zeigen $h^2 > 3 r_s^2 c^2$ das Teilchen wird ausgeworfen, wenn $v$ eine der Newtonschen Form nach ähnliche Fluchtgeschwindigkeit überschreitet.

Die obige Bedingung beschränkt sich eindeutig auf den Fall von drei reellen Wurzeln, und ich denke, die Bedingung, die ich möchte, ist, dass die kleinste Wurzel der obigen Kubik (es gibt eine zusätzliche $u$ im $\alpha$ ) Ist $\leqslant 0$ , obwohl ich nicht ganz sicher bin, warum das notwendig/ausreichend ist. Da erhalte ich das Ergebnis $v \geqslant \sqrt{\frac{2GM}{a}}$ .

Ist dieses Ergebnis richtig? Und könnte jemand erklären, warum diese Bedingung die richtige ist?

Jinawee

Das Ergebnis ist hier: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .

Colin MacLaurin

Diese Verbindung setzt eine radiale Bewegung voraus

Antworten (1)

Fluchtgeschwindigkeit für Schwarzschild-Metrik

Das Ergebnis ist hier: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .

John Donne · Answer 1

Lassen $f(u)$ das Polynom dritten Grades sein, so dass

\begin{matrix} (*) & {(\frac{D u}{D ϕ})}^{2} = F (u) \end{matrix}

$\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 = f(u)\tag{*}$ Der Experimentator beginnt bei

u = 1 / a

$u=1/a$ und muss unendlich erreichen,

u = 0

$u=0$ . Der entscheidende Punkt ist, dass wenn

f (u)

$f(u)$ ist irgendwo in der Region negativ

0 < u < 1 / a

$0<u<1/a$ , dann die Bewegungsgleichung

(*)

$(*)$ verhindert das Überqueren des negativen Bereichs, sodass Sie nicht unendlich erreichen können. Mit anderen Worten, wenn

u (θ)

$u(\theta)$ löst

(*)

$(*)$ Dann

f (u) > 0

$f(u)>0$ ; seit

u

$u$ ist kontinuierlich, Sie können keine Verbindung herstellen

1 / a

$1/a$ Zu

0

$0$ Wenn

f

$f$ ist irgendwo dazwischen negativ.

Jetzt ist es eine Frage der gewöhnlichen Rechnung, die Form zu bestimmen $f$ : wir erfahren, dass es genau eine Wurzel hat $u_\ast$ im Sortiment $u<r_s$ und das $f<0$ für $u<u_\ast$ Und $f>0$ für $u_\ast<u<1/r_s$ . Seit $f$ muss positiv sein für $0<u<1/a<1/r_s$ , Wir müssen haben $u_\ast<0$ .

Ob das die richtige Gleichung ist, hängt davon ab, was Sie meinen, dh siehe diese Frage.

Fluchtgeschwindigkeit für Schwarzschild-Metrik

JCW

Jinawee

Colin MacLaurin

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