Woher wissen wir, dass die Fourier-Transformation des Raums Impuls ist?

Was ist der mathematische Prozess und die physikalische Logik?

Die Fourier-Transformation des Ortsraums ($\vec x$Domäne) ist der Wellenzahlraum ($\vec k$Domain). Dies ist ein eindeutiges, gut verstandenes mathematisches Ergebnis.

Nach der De-Broglie-Hypothese ist das Momentum$\vec p = \hbar \vec k$. Dies ist eine physikalische Hypothese mit experimenteller Bestätigung .

Obwohl das Obige die zitierte Frage beantwortet, vermute ich, dass Sie es nicht befriedigend finden werden, da Sie nach etwas „Tieferem“ suchen. Denken Sie in diesem Fall sorgfältig darüber nach, was Ihre eigentliche Frage ist, und posten Sie sie als separate Frage.

Zum Beispiel: „Was ist die physikalische Intuition, die die De-Broglie-Hypothese motiviert“? Ich habe nicht gesucht, aber diese Frage kann hier bereits beantwortet werden.

Um ein klassisches System zu quantisieren, beginnen Sie mit der Poisson-Klammer

$$\{x_i, p_j\} = \delta_{ij}.$$ Diese Beziehung definiert $p_i$als Impuls kanonisch konjugiert zu$x_i$und ist äquivalent zu den Hamilton-Gleichungen. Quantisieren durch Lassen $x_i, p_j$Seien Hermitesche Operatoren auf einem Hilbert-Raum mit Kommutator $$[\hat x_i, \hat p_j] = i\delta_{ij}$$ (Identitätsoperator implizit). Lassen $|\vec x\rangle$bezeichnen einen Eigenzustand mit Eigenwerten $\vec x$Und $\psi(\vec x) = \langle \vec x | \psi \rangle$. Dann der Betreiber $$\hat p_i : |\psi\rangle \mapsto -i \int d^3x' |\vec x\rangle \frac{\partial }{\partial \vec x_i} \psi(\vec x)$$ erfüllt die Vertauschungsrelation ( und ist der einzige derartige Operator ). Mit dieser Darstellung des Impulsoperators ist das Eigenwertproblem $$\langle \vec x'| \hat p_i |\psi\rangle =\vec p_i\langle x'|\psi\rangle = \vec p_i \psi(x') = -i\int d^3\vec x\, \delta(\vec x-\vec x') \frac{\partial}{\partial \vec x_i} \psi(\vec x)$$ oder mit dem Dirac-Delta, $$p_i \psi(x) = -i\frac{\partial}{\partial \vec x_i}\psi(x).$$ Für einen Eigenzustand des Impulses gilt also $\psi(x) \propto e^{\vec p\cdot \vec x}$. Das heißt, der Zustand ist eine ebene Welle.

Zusammenfassend stellen wir aus den kanonischen Poisson-Klammern, quantisiert auf die kanonischen Kommutierungsbeziehungen, fest, dass Impuls-Eigenzustände ebene Wellen sind. Das Ausdrücken eines Problems in Form von Impuls-Eigenzuständen ist also dasselbe wie das Ausdrücken in ebenen Wellen, was genau das ist, was die Fourier-Transformation tut.

In dem Buch von Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Seite 577, gibt es die folgende Überlegung, Impuls mit Fourier-Frequenz in Verbindung zu bringen. Es wäre interessant zu diskutieren, ob es richtig ist:

Verwendung von Einsteins Masse-Energie-Beziehung$E= mc^2$, und Planck-Gleichung$E= h\nu$($\nu$=Frequenz), können wir den Impuls schreiben

$p= mc = E/c = h\nu/c = h/\lambda$

Wo$\lambda = c/\nu$ist die Wellenlänge. Daher hängen Wellenlänge und Impuls zusammen

$1/\lambda = p/h$.

Eine ebene Welle der Länge$\lambda$(oder Schwung$p$) ist gegeben durch

$\exp(2\pi i x/\lambda) = \exp(2\pi i xp/h),$

also die Fourier-Inversionsformel

$$\psi(x) = \int \hat\psi(\xi)\exp(2\pi i x\cdot\xi)\,d\xi = \frac1h\,\int \hat\psi(p/h)\exp(2\pi i x\cdot p/h)\,dp$$ ergibt eine Zerlegung von $\psi(x)$in Form von ebenen Impulswellen $p$. Die Quantität $|\hat\psi(p/h)|$beschreibt die Impulsamplitude $p$. Also, wenn $|\psi(x)|^2dx$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Position im Zustand $\psi$, dann nach dem Satz von Plancherel $|\hat\psi(p/h)|^2dp/h$sollte die Wahrscheinlichkeitsdichte des Impulses im Zustand sein $\psi$.

Schließlich kann der Mittelwert des Impulses geschrieben werden als

$$\mu_p=\int p|\hat\psi(p/h)|^2dp/h = h\int \xi \hat\psi(\xi){\overline{\hat\psi(\xi)}}\,d\xi= \frac{h}{2\pi i}\int \psi'\,\bar\psi=\langle P\psi,\psi\rangle,$$ wenn wir den Impulsoperator definieren $P$von $$P\psi=\frac{h}{2\pi i}\frac{d}{dx}\psi.$$

Eine Fourier-Transformation ist die Zerlegung einer Positionsraumfunktion in eine Basis von ebenen Wellen, von denen jede einen wohldefinierten Impuls hat.

$$f(x) \sim \int \text{d}p\; F(p) e^{\text{i}px}$$

Dies beruht auf der quantenmechanischen Idee, dass Wellen einen wohldefinierten Impuls haben können.