Warum kann eine Welle mit einer Sinusfunktion ausgedrückt werden?

Um es auf einfache Weise zu verstehen, verhalten sich die Wellen, die Sie betrachten, ähnlich wie die Funktionen einer Sinuswelle.

Sie haben ihnen ähnliche Eigenschaften und daher sind die Sinus- und Cosinuswellen die einfachste der periodischen Funktionen, um sie darzustellen. Es ist nicht so, dass genau diese Form auf Wellen zutrifft. Es ist kein Zwang, dass Wellen nur in Form von Sinuskurven dargestellt werden. Es gibt viele Wellen, die diese Form nicht haben, insbesondere Dreieckswellen und Rechteckwellen. Aber diese periodische Funktion macht die Darstellung viel einfacher.

Es ist viel einfacher, die Eigenschaften von Wellen zu verstehen, wenn wir Sinus- und Kosinusdiagramme verwenden, um sie zu beschreiben.

Sie bilden diese Wellen in ihrer Ausbreitung genau ab.

Alle Wellen können durch eine periodische Funktion dargestellt werden und jede wiederholte Form repräsentiert eine periodische Funktion. Die meisten periodischen Funktionen, sowohl in der realen Welt als auch in der Theorie, sind ziemlich kompliziert, zumindest mathematisch.

Wenn wir mit den Wellen rechnen wollen, von denen wir sprechen, müssen wir diese periodischen Funktionen in den Griff bekommen. Was wirklich helfen würde, wäre eine Möglichkeit, sie zu vereinfachen. Mit der Fourier-Analyse können wir genau das tun. Wir können eine komplizierte periodische Funktion mit etwas wirklich lästiger Mathematik nehmen und sie in einfachere periodische Funktionen zerlegen, bei denen die Mathematik viel einfacher ist.

Wenn ich die verwenden würde$tan$Funktion für diese spezielle Darstellung, da Sie wissen, dass der tan-Graph an vielen Stellen diskontinuierlich ist, kann er möglicherweise keine Welle darstellen ... und daher kommen Sinus- und Cosinus-Darstellung für diese Darstellung nahe genug.

Die einfachsten periodischen Funktionen sind Sinus und Cosinus. Sie sind praktisch dasselbe und eng miteinander verwandt.

Fourier-Theorie - jede Funktion

Aber garantiert dies, dass Ausdrücke, die Wellenbewegungen zeigen, eine Sinus- oder Kosinusfunktion sein können? Ist das nur eine Art Annäherung?

Es dreht sich alles um die Modellierung von Daten. Jede periodische Funktion kann mit Sinus unter Verwendung der Fourier- Entwicklungsreihe modelliert werden, so dass man in diesem Sinne, wenn es sich nicht um eine reine Sinuswelle handelt, die physikalische Welle mit einer Annäherung von Summen von Sinus anpassen kann.

Man kann sogar Wellenpakete anpassen:
$\hspace{50px}$.

Eine der einfachsten Möglichkeiten, Wellen zu erzeugen, besteht darin, eine Situation zu haben, in der die Kraft proportional zum Ort ist:$F=kx$für einige$k$. Da Kraft Masse mal Beschleunigung ist und Beschleunigung die zweite Ableitung ist, ergibt sich der Fall mit einer Variablen$x'' = \frac{k}{m}x$. Wenn$k$ist dann negativ$x = \sin{\left(\sqrt{\frac {-k} m}t\right)}$ist eine Lösung. Kompliziertere Wellengleichungen können andere Lösungen haben, aber das ist der Basisfall. Außerdem ermöglichen Anwendungen der Wellengleichung häufig Überlagerungen von Wellen, wobei in diesem Fall die Bewegung die Summe mehrerer Sinusfunktionen ist und die vollständige Funktion möglicherweise nicht wie eine Sinuswelle aussieht.

Ein Grund dafür, dass Sinuswellen in der Natur vorkommen, ist, dass wir in vielen physikalischen Systemen eine allgemeine Welle als Überlagerung von Sinus und Cosinus aller Frequenzen ausdrücken können, aber unterschiedliche Frequenzen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Dies bedeutet, dass selbst bei einer unordentlichen Wellenquelle, die anfänglich nicht wie eine Sinuswelle aussieht, Beobachter in weiter Entfernung zu jedem Zeitpunkt nur eine Frequenz sehen werden, und diese sieht genauso aus wie eine reine Sinuswelle.

Wir können das Überlagern von Wellen und das unabhängige Behandeln verschiedener Frequenzen (eine lineare Annäherung) rechtfertigen, wenn die Wellen als kleine Fluktuationen um eine Gleichgewichtssituation herum erscheinen. Beispielsweise befindet sich ein flacher Ozean im Gleichgewicht, und kleine Störungen an der Oberfläche breiten sich als Wellen aus, wenn die Schwerkraft wirkt, um das Gleichgewicht wiederherzustellen. Mathematisch erscheinen die Sinus- und Cosinuswellen als die natürlichen Bausteine ​​dieser linearisierten Annäherung, weil sie ein einfaches Verhalten unter Differentiation haben: Die Steigung eines Sinus ist ein Cosinus und umgekehrt.

Das spezifische Modell der Physik sagt uns dann, für jede gegebene Wellenlänge (oder Wellenzahl$k$), die Frequenz$\omega(k)$(es hängt davon ab$k$), an dem sie oszillieren/sich ausbreiten. Dies ist die Dispersionsrelation für das vorliegende System. Zum Beispiel:

Die Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Frequenz ausbreitet, ist durch die Gruppengeschwindigkeit gegeben $c_g=\frac{d\omega}{dk}$, die für die oben angegebenen Beispiele proportional zu ist$\frac{1}{\sqrt{k}}$,$k^0$(Konstante) und$\sqrt{k}$bzw. Dies zeigt drei qualitativ unterschiedliche Verhaltensweisen: längere Wellenlängen (kleiner$k$) gehen schneller, alle Wellenlängen bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit, oder kürzere Wellenlängen gehen schneller.

Jeder Surfer wird Ihnen sagen können, dass bei einem Sturm über dem Ozean und neuer Dünung am Strand die ersten Wellen, die ankommen, immer die größte Periode, die längste Wellenlänge sind, und dann werden sie im Laufe der Stunden und Tage immer größer immer kürzerer Zeitraum! Der Grund dafür, dass es einen genau definierten Zeitraum gibt und sie wie Sinuswellen aussehen (zumindest bis sie dem Strand zu nahe kommen und der Meeresboden zu stören beginnt), ist genau dieses Dispersionsphänomen. Wenn Sie mit Ihrem Finger kleine Wellen auf einem Teich/Bad machen, können Sie möglicherweise das gegenteilige Phänomen beobachten, bei dem sich die kürzesten Wellenlängen am schnellsten ausbreiten.

Schall hat diese Dispersion nicht, da sich alle Wellenlängen mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Wenn Sie einen kurzen Ausbruch weißen Rauschens ohne klar definierte Frequenz auf einem Lautsprecher abspielen, hören Sie selbst in weiter Entfernung weißes Rauschen, da sich die verschiedenen Komponentenfrequenzen nicht trennen. Die Schallwellen sehen dann niemals wie Sinuswellen aus!

In jedem Fall ist die Wasseroberfläche bei einem Spritzer zunächst unordentlich, aber die sich ausbreitenden Wellen sehen wie schöne, saubere Sinuswellen mit gut definierten Spitzen und Tälern aus, da alle Komponenten des Originals vermischt sind -Maische von Wellenlängen bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und trennen sich voneinander.

Die Wanderwelle kann jede stetige und differenzierbare Form haben, wie durch Überprüfung der allgemeinen Funktion gezeigt werden kann$f\left(x-ct\right)$erfüllt die Wellengleichung (ebenso wie diejenige, die sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt.

Die Sinus- und Cosinus-Lösungen sind nützlich, nur weil eine Welle beliebiger Form konstruiert werden kann, indem ein geeigneter Satz von ihnen zusammenaddiert wird, wie bei Fourier-Reihen/Integralen.

Vermuten$f(x)$ist ein Zeitraum-$2\pi$Funktion. Warum sollte es nur in Bezug auf die ausdrückbar sein?$e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx$mit$k\in\mathbb{Z}$? Nun, definieren Sie die Fourier-Transformation$\tilde{f}(k):=\int_\mathbb{R}f(x)e^{ikx} dx$so

Es gibt keine Regel, dass Wellen sinusförmig sein müssen. Einige Wellen weisen unterschiedliche Wellenformen auf, und Tonnen von Wellen sind nicht einmal kontinuierlich und werden daher nicht durch Sinusfunktionen beschrieben.

Es ist jedoch nützlich, die meisten kontinuierlichen Wellen auf diese Weise zu modellieren, da trigonometrische Funktionen die einfachsten periodischen Funktionen sind (am einfachsten zu verwenden).

Ein einfaches Beispiel, um dies zu beweisen, ist eine Rechteckwellenform. In der Mechanik ist es nicht üblich, aber es spielt eine große Rolle in Schaltkreisen für Berechnungen. Die Gleichung ist$A\times sign(\sin\omega t)$, bei dem die$sign$Funktion ist selbsterklärend*. Es gibt nichts „Sinusartiges“ an der Welle, aber wir sehen immer noch$\sin$. Dies ist nützlich, da die Sinusfunktion periodisch zwischen positiven und negativen Werten wechselt.

Wir können trigonometrische Funktionen verwenden, um eine große Anzahl anderer Kurven zu modellieren. Beispielsweise werden Dreieckswellen mit einer unendlichen Fourier-Reihe gezeichnet:$\sum_{i=0}^N(-1)^in^{-2}\sin([nt])$Es ist nicht nötig, diese Gleichung kritisch zu hinterfragen, aber was wichtig ist, ist das als$N$größer wird, ist die Gleichung eine bessere Annäherung, worauf sich die Frage konzentrierte. Mit trigonometrischen Ausdrücken können wir ähnliche Fourier-Transformationen anwenden, um nahezu jede Wellenform anzunähern.

* Um die zu erstellen$sign(a)$mathematisch funktionieren, versuchen$\frac{|(a)|}{a}$. Wenn$a$ist positiv,$|a|=a$, und$sign(a)=1$.

Dies ist eine etwas andere Interpretation der Frage ...

Wellen sehen wirklich ähnlich aus wie die Formen einer Sinus- oder Kosinusfunktion, aber garantiert dies, dass Ausdrücke, die eine wellenartige Bewegung zeigen, Sinus- oder Kosinusfunktionen sind, oder ist dies nur eine Annäherung?

Dies sind nicht immer Näherungswerte. Viele Wellen folgen tatsächlich einem Sinusdiagramm, sodass wir beweisen können, dass sinusförmige Bewegungen in der Natur real vorkommen.

Das einfachste Beispiel, um dies zu beweisen, ist ein Pendel in einfacher harmonischer Bewegung:
$\hspace{175px}$.

Sie können leicht eine Herleitung der entsprechenden Gleichung finden$x=A\sin(\omega t)$online. Aber das Wichtigste ist, dass wir die Gravitationskraft mithilfe der Trigonometrie in die Komponenten auflösen, um sie zu erhalten$F=mg\times \sin(\omega t)$. Dies ist direkt proportional zur negativen Verschiebung, daher zeigt die Verschiebung in SHM wirklich eine sinusförmige Bewegung, es ist keine Annäherung erforderlich.

Mehrere Wellenformen, einschließlich derer für stehende Wellen, werden durch die Manipulation dieser Formel entwickelt, aber für einige Dinge müssen wir mehrere Sinuswellen zusammen approximieren, indem wir Fourier-Transformationen verwenden; andere Antworten erklären diese Idee.