Haben alle periodischen Wellen eine Grundfrequenz?

Schauen wir uns zunächst eine Definition der "Grundfrequenz" an: "Die Grundfrequenz, oft einfach als Grundfrequenz bezeichnet, ist definiert als die niedrigste Frequenz einer periodischen Wellenform." Nach dieser Definition haben alle periodischen Wellenformen definitiv eine Grundfrequenz$f$, was genau der Kehrwert der Periode ist$T$der periodischen Wellenform

$$f=\frac {1}{T} \tag 1$$ @ThePhoton hat in seinen obigen Kommentaren richtig darauf hingewiesen. Der Grund ist, dass jede periodische Wellenform $$f(t)=f(t+T)\tag 2$$ mit Periode $T$kann in eine Fourier-Reihe mit Punkt entwickelt werden $T$: $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \exp( i\frac {2\pi nt}{T}) \tag3$$ wobei die Koeffizienten gegeben sind durch $$c_n=\frac {1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\exp(-i \frac {2\pi nt}{T}) \tag 4$$ und das Integral ist über eine beliebige Periode der Funktion, beginnend bei $t_0$. Also die Wellenform der Grundfrequenz $f_1 (t)$einer beliebigen periodischen Wellenform $f(t)$ist durch den Fourier-Term für gegeben $n=1$: $$f_1(t)=c_1 \exp( i\frac {2\pi t}{T}) \tag 5$$ mit $c_1=c_1*$definiert durch Gl. (4). Ein einzelner Impuls hat in diesem Sinne keine Grundfrequenz. Es kann jedoch in unendlich viele Frequenzkomponenten zerlegt werden, die der Fourier-Transformation des Einzelpulses entsprechen.

Es kommt darauf an, was du meinst.

Wenn Sie sich mathematisch fühlen, sehen Sie möglicherweise periodische Wellen und denken an eine periodische Funktion .$f(x) = f(x + p)$, und Grundfrequenz und denken Sie: "Wenn es keine Grundfrequenz hat, ist es nicht periodisch." In Mathe gegeben$f(x) = f(x+p_1)$, Und$g(x) = g(x+p_2)$,$h(x) = f(x) + g(x)$ist nicht periodisch, es sei denn$\frac{p_1}{p_2} \in$Vernunft$^1$, trotz$h(x)$aus periodischen Funktionen zusammengesetzt. QED. Ja.

Wenn Sie einen musikalischen oder elektronischen Hintergrund haben, sehen Sie „periodische Welle“ möglicherweise als „Signal“ mit periodischen Eigenschaften. Dies ist sinnvoller, da das OP nach Grundfrequenzen fragt, die ein häufiges Thema für Musiker sind. Der Grundton ist hier der Ton, den das menschliche Ohr als spezifische Tonhöhe des Signals identifiziert (weil er psychoakustisch am lautesten [tiefsten] ist).

Die eindimensionale Wellengleichung mit ihrem berühmten Satz von „ Obertönen “ nähert sich Saiten-, Blech- und Blasinstrumenten an. Die Grundwelle ist die niedrigste Frequenz in der harmonischen Reihe. Round Percussion und Square Percussion haben unterschiedliche, kompliziertere Obertöne. Aus diesem Grund und wegen des Abfalls mag es weniger nützlich sein, diese Signale durch ihre Grundschwingungen zu beschreiben, aber sie haben eine niedrigste Frequenz, die normalerweise langsamer abklingt als die Komponenten mit höheren Frequenzen. Nicht unbedingt.

Übrigens stimmen wir die meisten Klaviere auf gleichschwebende Stimmung , was bedeutet, dass benachbarte Noten ein Verhältnis von haben$\root{12}\of{2}$. Um ein Signal ohne Grundfrequenz zu erzeugen, spielen Sie einfach zwei beliebige Noten, die nicht ganzzahlige Oktaven voneinander entfernt sind. Trivial, prüfbar nein.

Wenn Sie sich mit Wavelets, Solitonen oder Akustik auskennen, könnten Sie periodische Wanderwellen einbeziehen$^2$. OP, meinst du das, wenn du "Puls" sagst? Voraussetzung ist hier lediglich, dass die Frequenzanteile im Medium ähnliche Geschwindigkeiten aufweisen. Dies sind wahrscheinlich keine periodischen Funktionen , da sich ein Wavelet nicht wiederholen muss. Ein Puls hat eine „niedrigste Frequenz“, aber die Dauer des Pulses kann zu kurz sein, um diese Frequenz zu identifizieren – siehe Ohren und NSST . Immer noch nein.

Zu guter Letzt, wenn wir über Klang und Pedantismus sprechen, unsere Ohren haben Haare, die mit unterschiedlichen Frequenzen vibrieren, also ist nicht „kein Ton ist periodisch“, sondern jeder Ton notwendigerweise periodisch. Wenn Sie es schaffen würden , Diracs Delta-Funktion zu spielen , zunächst einmal wow und schöne Explosion, aber Ihr Ohr würde seine eigene Frequenzgangcharakteristik hören. Dies und das Schlagen eines Systems mit einer Heaviside-Step-Funktion sind Techniken, um den Frequenzgang eines Systems schnell zu untersuchen.

$^{^1\text{Irrationals are uncountable while rationals are merely infinite. Given 2 random frequencies, the signal's assuredly non-periodic.}}$

$^{^1\text{Travelling waves exist with open and closed boundary conditions.}}$