Stehende Wellen: Wie werden die Wellen, die die Randbedingungen nicht einhalten, aus dem Normalmodus „ausgelöscht“?

Question

Stehende Wellen: Wie werden die Wellen, die die Randbedingungen nicht einhalten, aus dem Normalmodus „ausgelöscht“?

Sorën

Ich stelle diese Frage, weil ich in Lehrbüchern keine Erklärung gefunden habe.

Stellen Sie sich eine Saite vor, die an beiden Enden mit einem Impuls versehen ist (wie bei einer Gitarre). Der Impuls kann durch Fourier-Integral beschrieben werden und enthält alle möglichen Frequenzen (mit ihren Gewichten). Allerdings nur die Frequenzen, die die Bedingung erfüllen

F = N \frac{v}{2 L}

$f=n \frac{v}{2L}$ "überlebt" und alle anderen Komponenten verschwinden in kurzer Zeit nach einigen Überlegungen.

Ich hätte gerne eine ungefähre, aber ganz klare Vorstellung davon, wie die Wellenkomponenten nicht zufriedenstellend sind $(1)$ verschwindet, nachdem es einige Male reflektiert wurde.

Betrachten Sie die Situation auf dem Bild, was der Fall ist $n=2$ stehende Welle (in Schwarz) und die rote und grüne sind die einfallende und reflektierte Welle.

Wegen $(1)$ , in diesem Fall addieren sich einfallende und reflektierte Welle an beiden Enden des Seils zu jedem Zeitpunkt zu Null $t$ (Dies ist in der Tat die Bedingung, aus der $(1)$ ist abgleitet).

Wie dem auch sei, wenn dies nicht gilt, dh sich einfallende und reflektierte Welle in einem Seilende nicht zu Null addieren, was passiert dann mit der Welle?

Aus meiner Sicht müssen diese beiden Dinge sowieso gelten:

Das Ende des Seils ist physisch fixiert, sodass es sich in keinem Fall bewegt
Da sich das Ende nicht bewegt, wird die reflektierte Welle immer verkehrt herum reflektiert. Also auch die Komponenten die nicht gehorchen $(1)$ wird verkehrt herum reflektiert

Das erklärt aber nicht, warum die Komponenten nicht zufriedenstellend sind $(1)$ schließlich verschwinden. Und es sieht auch so aus wie Punkt 2. Das ist ziemlich absurd, denn wenn die Wellen verkehrt herum reflektiert werden (wie im Bild), aber unabhängig davon, dass sie die Bedingung erfüllen $(1)$ oder nicht, es scheint mir, dass sie sich an den Enden des Seils auf jeden Fall zu Null addieren sollten.

Aber das ist sicherlich falsch und ich bin ziemlich verwirrt darüber, was mit den Komponenten der Welle passiert, die nicht gehorchen $(1)$ , daher wird jede Erklärung sehr geschätzt.

Antworten (3)

Stehende Wellen: Wie werden die Wellen, die die Randbedingungen nicht einhalten, aus dem Normalmodus „ausgelöscht“?

Purpur · Answer 1

Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass, wenn wir die Dämpfung ignorieren, alle Arten von Wellen für immer reflektieren werden.

Wenn wir jedoch Dämpfung hinzufügen, ändert sich die Situation. Die Stärke der Dämpfung hängt von der Frequenz der Schwingung ab. Nur die niederfrequenten Schwingungen werden überleben.

Typische Erregungen einer Gitarrensaite haben jedoch keine einzelne Frequenz, sondern sind eine Mischung verschiedener Frequenzen. Die einzigen Anregungen, die nur eine einzige Frequenz haben, sind diejenigen, die einen sinusförmigen Verlauf haben und den Randbedingungen gehorchen.

Alle anderen Erregungen lassen sich übrigens mit einem mathematischen Trick namens Fourrier-Reihe als Summe dieser Basiskomponenten beschreiben. Unabhängig von der Form Ihrer Saite kann sie also immer als Summe von sinusförmigen Anregungen beschrieben werden, die den Randbedingungen gehorchen.

Da nun alle hochfrequenten Komponenten dieser Summe stark gedämpft sind, bleiben Ihnen die niederfrequenten Komponenten, was auch immer Ihre ursprüngliche Erregung gewesen sein mag.

alephnull · Answer 2

Der Grund, warum Sie kein kontinuierliches Frequenzspektrum erhalten, liegt an den Randbedingungen an den Enden der Saite.

Angenommen, Sie beginnen, die Saite mit einer beliebigen Verschiebung und Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu bewegen $t = 0$ .

Angenommen, die Zeichenfolge hat eine endliche Länge $L$ und nennen Sie die Verschiebung der Zeichenfolge $u(x,t)$ für $0 <= x <= L$ Und $0 <= t$ . Wenn die Enden der Saite fixiert sind, $u(0,t) = u(L,t) = 0$ für alle $t$ .

Da die Länge endlich ist, können Sie beliebige anfängliche Verschiebungen und Geschwindigkeiten mit einer diskreten Fourier-Reihe mit Termen beschreiben

u (X, 0) = \sum_{k = 1}^{\infty} A_{k} Sünde \frac{π k X}{L}

$u(x,0) = \sum_{k=1}^\infty a_k \sin \frac{\pi kx}{L}$

Die Bewegung setzt sich fort als Summe von vorwärts und rückwärts wandernden Wellen, die sich alle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen $c$ (die d'Alembert-Lösung der Wellengleichung).

Die einzelnen Terme in der obigen Fourier-Reihe erzeugen stehende Wellen, deren Frequenzen alle Vielfache der Grundfrequenz sind $f_0$ , dh $f_k = kf_0$ für $k = 1, 2, \dots$ .

Tief · Answer 3

Sie gehen davon aus, dass am Anfang (beim Zupfen der Saite) alle denkbaren Frequenzen vorhanden sind und dann im Laufe der Zeit nicht passende Frequenzen verschwinden. Ihre Annahme ist falsch, da die Enden der Saite von Anfang an fest gehalten werden und jede Frequenz, die an den Saitenenden keine Nullverschiebung ergibt (äquivalent zu der, die die von Ihnen erwähnte Bedingung nicht erfüllt), von Anfang an einfach nicht vorhanden ist Anfang.

Stehende Wellen: Wie werden die Wellen, die die Randbedingungen nicht einhalten, aus dem Normalmodus „ausgelöscht“?

Sorën

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Purpur

alephnull

Tief

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