Hintergrund

Lassen$\tau$sei die Spannung und$\mu$eine lineare Massendichte (d. h. Masse pro Längeneinheit) sein, dann ist die Wellengleichung für eine Saite gegeben durch:

$$\partial_{tt} \psi \left(x,t\right) - \frac{ \tau }{ \mu } \partial_{xx} \psi \left(x,t\right) = 0 \tag{0}$$ wo $\partial_{jj} \equiv \partial^{2}/\partial j^{2}$und $\psi \left(x,t\right)$ist eine allgemeine Lösung dieser Gleichung, die als Wellengleichung bezeichnet wird .

Dies hat eine einfache Lösung der Form:

$$\psi \left(x,t\right) = A \ e^{i \left( \pm \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm \omega t \right)} \tag{1}$$ wo $A$ist eine gewisse Amplitude und die Phasengeschwindigkeit der Welle ist gegeben durch: $$\frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu }} \equiv C \tag{2}$$

Wir wollen Lösungen der Form finden$f\left( x - C \ t \right)$, aber dies funktioniert nur für nichtdispersive Wellen und nicht für nichtlineare Wellen . Mit anderen Worten gilt die Lösung, wenn die Phasengeschwindigkeit der Welle ist$C$= konstant.

Reflexion und Übertragung

Nehmen Sie zunächst an$\tau$ist über die gesamte Saite gleichmäßig, um unerwünschte Beschleunigungen zu vermeiden. Als nächstes definieren wir eine allgemeine Form:

$$\psi_{j} \left(x,t\right) = f_{j} \left(x - v_{j} t\right) = f_{j} \left(t - \frac{x}{v_{j}} \right) \tag{3}$$ wo das Abonnement $j$= $i$für Vorfall, $r$für reflektiert, und $t$für übertragene Wellen. Nehmen wir nun an, es gibt eine Grenze bei $x$= 0 und dass unser String auf beiden Seiten unterschiedliche Massendichten hat. Lassen Sie uns definieren $\mu_{1}$für Region 1 (- $\infty < x < 0$) und $\mu_{2}$für Region 2 ( $0 < x < \infty$). Dann haben wir: $$\begin{align} v_{1} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{1} }} \tag{4a} \\ v_{2} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{2} }} \tag{4b} \end{align}$$

Beachten Sie, dass die reflektierte Welle,$\psi_{r} \left(x,t\right)$, wird ein Negativ haben$v_{r}$und damit ein positives Vorzeichen im Ausdruck für$f$. Da die Wellen linear sind, können wir sie einfach als lineare Überlagerung von zwei Wellen für Region 1 schreiben. Dann haben wir:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(x,t\right) = \psi_{i} \left(x,t\right) + \psi_{r} \left(x,t\right) = f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) \tag{5a} \\ \psi_{2} \left(x,t\right) = \psi_{t} \left(x,t\right) = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{5b} \end{align}$$

Randbedingungen

Es gibt zwei Randbedingungen (BCs), die erfüllt sein müssen:

1. Die Zeichenfolge ist fortlaufend
2. Die Steigung der Saite ist kontinuierlich

Diese lassen sich mathematisch schreiben als:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(0,t\right) & = \psi_{2} \left(0,t\right) \tag{6a} \\ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{6b} \end{align}$$ wobei diese Gleichungen in Bezug auf umgeschrieben werden können $f_{j}$(und Integration der zweiten), um zu finden: $$\begin{align} f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) & = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{7a} \\ v_{2} \left[ \ f_{i} \left(t\right) - f_{r} \left(t\right) \right] & = v_{1} f_{t} \left(t\right) \tag{7b} \end{align}$$ Wir können diese beiden Gleichungen lösen für $f_{r}$und $f_{t}$bezüglich $f_{i}$finden: $$\begin{align} f_{r} & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8a} \\ f_{t} & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8b} \end{align}$$

Koeffizienten/Amplituden

Wir können aus den letzten beiden Gleichungen ersehen, dass die Amplituden der reflektierten ($R$) und übertragen ($T$) Welle sind gegeben durch:

$$\begin{align} R & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ \sqrt{ \mu_{1} } - \sqrt{ \mu_{2} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ 2 \ \sqrt{ \mu_{1} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9b} \end{align}$$

Masseloser Ring

Als Impedanz wird ein masseloser Ring ¹ an einem Ende einer Saite ² behandelt . Da der Ring masselos ist, fordern wir, dass die Netto-Querkraft (dh orthogonal zur Richtung der Wellenausbreitung, sagen wir entlang der x/horizontalen Richtung) Null ist. Eine endliche Querkraft würde zu einer unendlichen Beschleunigung führen. Der einzige Unterschied in diesem Fall besteht darin, dass wir eine ungleichmäßige Spannung verwenden müssen. Also folgen wir einfach den gleichen Schritten wie oben, verwenden aber$\tau_{j}$für Region$j$und so haben wir:

$$\begin{align} \tau_{1} \ \sin{\theta_{1}} & = \tau_{2} \ \sin{\theta_{2}} \tag{10a} \\ \tau_{1} \ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \tau_{2} \ \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{10b} \end{align}$$ Wo die Winkel, $\theta_{j}$, sind relativ zur x/horizontalen Richtung. Wir können die Impedanz definieren als $Z_{j} = \tau_{j}/v_{j} = \sqrt{ \tau_{j} \ \mu_{j} }$, wodurch wir die Reflexion neu definieren können ( $R$) und Übertragung ( $T$) Koeffizienten als: $$\begin{align} R & = \left( \frac{ Z_{1} - Z_{2} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ Z_{1} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11b} \end{align}$$

Massiver Ring

Im Gegensatz zu einem masselosen Ring erfordert ein massiver Ring eine Änderung der BCs, da wir nun die Newtonschen Gesetze berücksichtigen müssen. Wir können davon ausgehen, dass die Saite eine Kraft ausübt und der massive Ring eine Beschleunigung erfährt, sodass wir schreiben können:

$$\begin{align} F & = \tau \partial_{x} \psi \left(x,t\right) \tag{12a} \\ m \ a & = m \ \partial_{tt} \psi \left(x,t\right) \tag{12b} \end{align}$$ Beachten Sie, dass $F$in Gleichung 12a ist die vertikale Kraft auf den Ring aufgrund der Spannung in der Saite, $m$in Gleichung 12b ist die Masse des Rings, und $a$in Gleichung 12b ist die Beschleunigung des Rings ³ .

Wir können das in der Grenze als sehen$m \rightarrow 0$wir haben$\partial_{x} \psi \rightarrow 0$, also ist die Kraft null, wie es für ein masseloses System notwendig ist. Das sehen wir auch so$m \rightarrow \infty$wir haben$\partial_{tt} \psi \rightarrow 0$, was eine konstante Geschwindigkeit für den massiven Ring impliziert (dh sie wäre hier Null, da die Anfangsbedingung ist, dass er aus der Ruhe startet).

Grenzbeispiele

Jetzt können wir ein paar nützliche Beispiele liefern:

• Einheitliche Saite:$\mu_{1} = \mu_{2}$oder$v_{1} = v_{2}$
  • $R$= 0 und$T$= 1
• Feste (unendliche?) Wand bei$x = 0$:$\mu_{2} \rightarrow \infty$oder$v_{2} = 0$
  • $R$= -1 und$T$= 0
• Masselose Saite für$x > 0$:$\mu_{2} \rightarrow 0$oder$v_{2} = \infty$
  • $R$= 1 und$T$= 2
• Masseloser Ring an senkrechtem, reibungsfreiem Pol an$x = 0$:$\tau_{2} = 0$ $\rightarrow$ $Z_{2} = 0$
  • $R$= 1 und$T$= 2
• Massiver Ring an senkrechter, reibungsfreier Stange an$x = 0$:
  • $\lim_{m \rightarrow 0} \ \partial_{x} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= 1 und$T$= 2
  • $\lim_{m \rightarrow \infty} \ \partial_{tt} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= -1 und$T$= 0

Fußnoten

1. Der Ring muss masselos sein, um die Randbedingungen einzuhalten, ohne dass dafür eine unendliche Kraft erforderlich ist. Dies ergibt sich, weil wir Kontinuität in Neigung und Spannung an der Verbindungsstelle benötigen. Es würde sich auch eine endliche Masse ergeben$Z_{2} \neq 0$, da es wie eine zweite Spannung wirken würde.
2. Angenommen, der Ring befindet sich auf einer reibungsfreien vertikalen Stange.
3. Nebenbei sei angemerkt, dass BCs und Differentialgleichungen die Hauptbestandteile eines Problems sind. Dies ist relevant, da die Superpositionsregel in den Gleichungen 12a und 12b im Gegensatz zu dem in früheren Abschnitten verwendeten Ansatz nicht verwendet wurde. Die Verwendung einer Superposition ist nur eine von vielen möglichen Methoden, die man verwenden kann, um die Differentialgleichungen zu lösen, ist aber nicht erforderlich und kann unter bestimmten Umständen nicht angewendet werden. Das heißt, die BCs und Differentialgleichungen existieren unabhängig davon, ob man die Superpositionsregel anwenden kann.

Verweise

• Französisch, AP (1971), Vibrationen und Wellen , New York, NY: WW Norton & Company, Inc.; ISBN:0-393-09936-9.
• Whitham, GB (1999), Lineare und nichtlineare Wellen , New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.

Ich habe im Netz eine gute Erklärung zu meiner Frage gefunden, also teile ich sie nur für den Fall, dass jemand anderes auch eine Antwort haben möchte. Beachten Sie, dass die Frage "Warum es die doppelte Amplitude erreicht" bleibt, sowie ein neues Problem, warum die Antwort besagt, dass der Ring Schwung hat (weil er masselos ist):

Das Ende der stationären Schnur, Abbildung (a), ist an einem Ring befestigt, der sich auf einer reibungsfreien Stange in vertikaler Richtung frei bewegen kann. In Abbildung (b) wird nun ein Impuls über die Saite gesendet. Betrachten wir die vom Impuls ausgehenden Kräfte auf die Saite, das heißt, wir ignorieren die Gravitationskräfte auf der Saite. Die Pfeile nach oben und unten auf dem Impuls stellen die Kräfte nach oben bzw. nach unten auf die Partikel der Saite dar. Der Impuls breitet sich in Abbildung (c) nach rechts aus und erreicht den Ring in Abbildung (d). Die sich nach rechts ausbreitende Aufwärtskraft bewirkt, dass sich der Ring am Ende der Saite nach oben bewegt. Der Ring steigt nun auf die Höhe des Pulses an, wenn die Mitte des Pulses den Ring erreicht, Abbildung (e). Obwohl keine zusätzliche Kraft auf den Ring nach oben wirkt, Der Ring bewegt sich aufgrund seines Impulses weiter nach oben. Wir können dies auch aus energetischer Sicht betrachten. An der Stelle der Spitze des Impulses hat der Ring eine kinetische Energie nach oben. Der Ring setzt sich nach oben fort, bis diese kinetische Energie verloren geht. Wenn sich der Ring nach oben bewegt, zieht er nun die Saite mit sich nach oben und überwindet schließlich die nach unten gerichteten Kräfte am hinteren Ende des Pulses, bis auf die Saite links vom Ring eine Nettokraft nach oben wirkt, Abbildung (f). Diese Aufwärtskraft wird nun entlang der Schnur nach links fortgepflanzt, indem jedes benachbarte Teilchen zu seiner Linken nach oben gezogen wird. Da der Ring an der Schnur nach oben gezogen wird, zieht die Schnur nach Newtons drittem Gesetz auch an der Schnur nach unten, und der Ring beginnt schließlich nach unten, Abbildung (g). Wenn sich der Ring nach unten bewegt, übt er eine nach unten gerichtete Kraft auf die Saite aus. wie durch die Pfeile in Abbildung (h) gezeigt. Die nach oben und nach unten gerichteten Kräfte breiten sich als Impuls nach links aus, wie in Abbildung (i) gezeigt. Das Nettoergebnis der Wechselwirkung des Pulses nach rechts mit dem beweglichen Ring ist ein reflektierter Puls der gleichen Größe und Form, der sich nun mit der gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeit nach links bewegt. Der ankommende Impuls war mit der richtigen Seite nach oben und der reflektierte Impuls ist auch mit der richtigen Seite nach oben. Der bewegliche Ring am Ende der Saite wirkt wie die Hand, die sich auf und ab bewegt, um den Puls zu erzeugen. und der reflektierte Impuls ist auch richtig herum. Der bewegliche Ring am Ende der Saite wirkt wie die Hand, die sich auf und ab bewegt, um den Puls zu erzeugen. und der reflektierte Impuls ist auch richtig herum. Der bewegliche Ring am Ende der Saite wirkt wie die Hand, die sich auf und ab bewegt, um den Puls zu erzeugen.

Beachten Sie, dass der beste Weg, dieses Verhalten zu verstehen, darin besteht, den einfachsten Fall von nur einem „halben Puls“ zu betrachten. Erzeugen Sie einen Impuls, indem Sie die Saite einfach an einer Position nach oben bewegen und diesen zum freien Ende ausbreiten lassen (siehe Verhalten), und bringen Sie die Saite zu einem späteren Zeitpunkt in ihre Ausgangsposition. Dies wird wie ein sehr langer Puls sein, aber Sie können sehen, was passiert, indem Sie die Kräfte in jedem Teil des Pulses addieren, indem Sie ihren jeweiligen Reflexionen vom freien Ende folgen.

Außerdem ist hier eine Simulation, damit Sie alle den sehr langen Puls machen und all diese Dinge in Aktion sehen können.
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html

Diese Frage ist sehr weit gefasst, daher werde ich versuchen, nur ihre Teile zu beantworten.

Warum haben wir überhaupt Reflexion? Entscheidend ist die Impedanz der Saite. Die Welle auf der Saite erreicht den Punkt mit der Impedanzdiskontinuität und daher tritt eine Reflexion auf. In Ihrem Fall gibt es eine Reflexion von der "Nullimpedanzgrenze". Das entgegengesetzte Lehrbuchbeispiel ist die Reflexion von der "unendlichen Impedanzgrenze". Es gibt natürlich Fälle dazwischen, zB (sehr theoretisches) Ende der Saite auf einem Kolben mit der gleichen Impedanz wie eine Saite. Die Welle auf der Saite wäre also noch "reisend".

Intuition in diesem Fall: Es gibt eine Energiemenge, die von der Saite getragen wird, die zwischen Verschiebung (dh kinetische Energie) und Spannung (dh potentielle Energie) aufgeteilt wird. Am vorgeschlagenen ungebundenen Ende gibt es keinen Faktor, der eine Spannungserhöhung verursachen könnte und daher (aus Energieerhaltung) eine größere Verschiebung ergibt.

Warum ist die reflektierte Welle bei einem offenen Ende eine positive Welle und warum bei einem geschlossenen Ende die reflektierte Welle eine negative Welle? Vielleicht hilft Ihnen diese Gegenfrage, es intuitiv zu verstehen: Was wäre der Faktor oder Agent, der die Amplitude in die entgegengesetzte Richtung dreht? Bei "unendlicher Impedanzendung" ist so etwas vorhanden: die Impedanz. Aber für "Nullimpedanzende" ...?

Warum die doppelte Amplitude während der Reflexion? Versuchen Sie, es zu modellieren (in Gedanken oder numerisch). Was ist los. Die Welle trifft ein, wird aber gleichzeitig reflektiert. Es ist also die Summe beider Wellen und in dem unendlich kleinen Zeitintervall, in dem das Maximum auf die Grenze trifft, sind die Amplituden von einfallender und reflektierter Welle gleich und die Summe ist daher maximale Amplitude mal zwei.

Quellenempfehlung: Ich empfehle dringend das Buch Vibrations and Waves in Physics von Ian G. Main für mehr Intuition und eine weiterführende Diskussion.

Beginnen wir mit der Intuition, die Sie bereits haben, für eine Welle, die sich entlang einer durchgehenden Schnur bewegt. Die Querbewegung entsteht durch die Spannung von beiden Seiten: Die eine, von der die Erregung (bzw. das Wellenpaket) kommt, zieht ein Stück Schnur an der Vorderseite der Welle nach außen, die andere, wo nur die Welle ist kurz vor der Ankunft, widersetzt sich dieser Bewegung, indem er noch ruht. Ähnliche, aber entgegengesetzte Kräfte gleichen sich so aus, dass die Erregung weiter nach vorne wandert und jedes Stück der Saite in Ruhe lässt, sobald es dieses Stück passiert.

Wenn Sie die Seite entfernen, zu der die Welle läuft, erhalten Sie eine größere Amplitude, weil diese Hälfte, die sonst der Querbewegung Widerstand entgegensetzt, fehlt. Die andere Hälfte, von der das Wellenpaket angekommen ist, wird daher weiter gezogen, mehr als ausreichen würde, um ihre Bewegung einfach zu beenden, nachdem das Wellenpaket sie passiert hat, wenn sie sich in der Mitte der Saite befände. Sie haben also eine neue Erregung, bei der das äußerste Ende Ihrer Saite auf benachbarte Bits derselben Saite einwirkt: Es gibt eine neue Welle, die zurückläuft.

Wenn Sie erkennen, dass eine perfekte Saite für solche Wellen perfekt elastisch ist und daher mechanische Energie spart, können Sie auch argumentieren, dass die von Ihrem Wellenpaket getragene Energie in irgendeiner Form weiter existieren muss. Die momentan gedehnte Saite mit offenem Ende springt natürlich zurück, was eine neue Welle darstellt (oder, wenn Sie möchten, die alte reflektiert).

Dies ist ein modifizierter Auszug aus meiner Antwort zu stehenden Wellen vor Ort: shttps://electronics.stackexchange.com/questions/171723/confused-regarding-standing-waves-on-transmission-line Die Amplitude am Ende, ohne Last, würde doppelt so groß sein wie am Eingangsende, da plötzlich keine Leitung mehr vorhanden ist, um sie zu laden, sodass sie überschießt. So reflektiert es die Welle von einem offenen Stromkreis zurück. Sie können dasselbe sehen, indem Sie ein Seil baumeln lassen und es anstoßen, um einen Puls nach unten zu senden. Das Ende peitscht nach oben, zieht am Ende der Saite hoch und sendet eine positive Welle zurück.

Um eine Leitung mit einem Kurzschluss am Ende zu verstehen, beobachten Sie, wie ein Vogel auf dem Stromkabel zu Ihrem Haus landet. Zunächst drückt es das Kabel nach vorne, dann wandert eine Welle zum Strommast, und das Kabel schwingt wie eine Gitarrensaite hinüber, sendet die Welle als negative Welle zurück und schüttelt den Vogel nach hinten und dann nach vorne, wenn die Welle reflektiert wird das Haus und geht als positive Welle zurück. Ungefähr alle 2 Sekunden sehen Sie, wie der Vogel vor und zurück zittert, wenn die Welle von jedem Ende abprallt. In ähnlicher Weise überquert der Strom in einer kurzgeschlossenen Leitung, wenn die Welle oder der Impuls das Ende erreicht, den anderen Leiter und sendet eine Welle mit entgegengesetzter Phase oder einen Impuls mit entgegengesetzter Polarität zurück. Hoffe, diese Analogie macht es leicht zu verstehen.