Schwingende Saite, Randbedingung freies Ende

Die offene Randbedingung bedeutet, wie in der Frage angegeben, dass an der Grenze keine Kraft auf das Saitenende in Dehnungsrichtung wirkt.

Da die Spitze der Saite eine infinitesimale Masse hat, können wir argumentieren, als ob wir Bedingungen für statisches Gleichgewicht betrachten würden (wenn die von der Saite verursachten Kräfte sich um einen endlichen Betrag von den Kräften unterscheiden würden, die von der Wand verursacht werden, würde das Ende der Saite unendlich beschleunigt werden, was unphysikalisch ist).

Die am Ende der Saite wirkenden Kräfte lassen sich leicht analysieren: Die Kraft wirkt in Richtung der Saite (weil eine ideale Saite per Definition keinen Biegewiderstand hat) und ist betragsmäßig gleich der Spannung der Saite.

Dies bedeutet, dass es keine Kraft parallel zur Grenze gibt, wenn die Richtung der Saite senkrecht zur Oberfläche ist. Diese Bedingung lässt sich offensichtlich in der Anforderung that kodieren$\partial_x u = 0$(als$u$ist der$y$Koordinate der Zeichenfolge an Position$x$, also steht der String senkrecht zur Grenze, wenn die Steigung des Graphen null ist).

Ich denke, dass die Antwort von Sebastian Riese den Kern der Argumentation erfasst. Nur als Ergänzung für diejenigen, die daran interessiert sein könnten, hier ist eine mathematische Version des Arguments:

Lassen Sie eine Zeichenfolge verlängern von$x = 0$Zu$x = L$und lass$u(x)$sei der$y$Koordinate jedes Punktes der Zeichenfolge. Betrachten Sie einen Teil der Zeichenfolge aus$x = 0$Zu$x = b$und wenden Sie Newtons zweites Gesetz darauf an, das besagt, dass die Summe der äußeren Kräfte auf diesen Teil der Saite gleich der Summe der Masse mal der Beschleunigung der Elemente ist, aus denen der Teil der Saite besteht. Bedenke die$y$Komponente dieser Gleichung, dann wird die Saite als kontinuierliches Medium betrachtet, wobei letztere Größe als Integral der Dichte der Saite multipliziert mit der Ableitung zweiter Ordnung von ausgedrückt werden kann$u(x)$in Bezug auf die Zeit,$\int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$.

Betrachten Sie nun die äußeren Kräfte auf den Schnurabschnitt in der$y$Richtung. Innere Kräfte aufgrund der Spannung der Saite tragen aufgrund des Aktions-Reaktions-Gesetzes keine Nettokraft bei, so dass die Nettokräfte nur an den Endpunkten der Saite auftreten. Bei$x = 0$, da das Ende der Zeichenfolge gezwungen ist, bei zu bleiben$x = 0$kann sich aber ansonsten frei bewegen$y$, die Nettokraft entlang$y$ist Null. Bei$x = b$, ergibt sich eine Nettokraft aus der Spannung in der Saite (die Atome links und rechts von$x = b$ziehen aneinander, aber nur das Atom auf der linken Seite ist Teil des betrachteten Teils der Schnur). Spannung ist eine entlang der Saite ausgerichtete Kraft, die$y$Komponente der Kraft bei$x = b$Ist$T \frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \approx T u_x$Wo$T$ist die Spannungsgröße. Daher Newtons zweites Gesetz entlang$y$liest

$T u_x(b) = \int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$

Nehmen Sie das jetzt an$u_x(x)$ist kontinuierlich und das$u_{tt}(x)$stetig und beschränkt ist und den Grenzwert nimmt$b \rightarrow 0$Erträge$u_x(0) = 0$, das ist die Randbedingung.