Sind Neveu-Schwarz-Bedingungen sinnvoll?

Wenn wir Fermionen auf die Saite legen, müssen wir Randbedingungen für unsere Spinorfelder wählen - Ramond oder Neveu-Schwarz. NS-Bedingungen auf der geschlossenen Saite haben antiperiodische Bedingungen wie z ψ L ( σ ) = − ψ L ( σ + π ) (Wo π ist die Periodizität der Zeichenfolge). Ich bin verwirrt darüber - sollte nicht ψ einwertig sein?

Als Folgefrage frage ich mich, warum wir der offenen Saite keine (Anti-)Periodizität als Bedingung auferlegen können - stattdessen bestehen wir darauf, dass die Variation des fermionischen Feldes an beiden Endpunkten verschwindet. Warum das?
Lieber @James, wenn Felder periodisch sind, X Ö R ψ ( σ + π ) = X Ö R ψ ( σ ) , dann ist die Topologie ein Kreis, weil σ ist praktisch eine periodische Variable und wird als geschlossener String bezeichnet. Sowohl für offene Strings als auch für geschlossene Strings ist die Randbedingung, die die Bedingung einschränkt, das Verschwinden der Randbedingungen in δ S .
Die Randbedingungen in δ S , die aus der partiellen Integration stammen, sind ψ μ δ ψ μ | 0 π − ψ ~ μ δ ψ ~ μ | 0 π . Dies kann entweder durch Herstellung verschwinden ψ Und ψ ~ periodisch oder durch Einstellung ψ = ± ψ ~ an beiden Grenzpunkten σ = 0 , π . Das relative Vorzeichen in diesen ± zwischen beiden Endpunkten ergibt tatsächlich eine Open-String-Version der (Anti-)Periodizität, die zu ganzzahligen oder halbzahligen Modi führt. Aber es ist (Anti-)Periodizität nur über einen doppelten Bereich.

Antworten (1)

Lieber James, dafür gibt es keinen Grund ψ sollte periodisch sein. Erstens, wenn Sie ein Problem haben, stellen Sie sich das vor ψ sind nur Hilfsvariablen, aber die wahren sind die Bilinears ψ ich ψ J die noch periodisch sind. Nur Dinge wie der Weltblatt-Spannungs-Energie-Tensor T + + Und T − − müssen periodisch sein, und sie sind es, weil sie in Fermionen und ihren Ableitungen bilinear sind.

Nehmen Sie eine Analogie mit den Wickelsaiten. Auf diesen Saiten, X bei σ + π Ist X bei σ um die Windungszahl mal Umfang verschoben. Es ist auch nicht einwertig.

In ähnlicher Weise können die Felder auf der Zeichenfolge durch die Wirkung einer Orbifold verdreht werden. Die einzige Bedingung ist, dass die Operation, die der Monodromie um die geschlossene Saite entspricht, eine Symmetrie der Theorie ist. Es bedeutet, dass es mit dem Hamilton-Operator pendelt - also das T A B aus den Feldern konstruiert bleibt periodisch.

Tatsächlich können die Windungszahlen sowie allgemeine periodische/antiperiodische Bedingungen für Fermionen als Spezialfälle einer Orbifaltung angesehen werden. Für jede mögliche Gruppenaktion, die erlaubt ist, wenn Sie die geschlossene Zeichenfolge umgehen, gibt es eine entsprechende GSO-ähnliche Projektion auf der Zeichenfolge.

Tatsächlich sind die antiperiodischen NS-Randbedingungen auf der Saite die "primären", die natürlicheren als die periodischen R-Randbedingungen. Wenn Sie die geschlossene Zeichenfolge oder einen Zylinder durch konforme Transformationen auf eine komplexe Ebene mit einem Operator in der Mitte abbilden, wird der NS-Sektor auf normale Operatoren wie Identitäten abgebildet, die die Fermionen um den Ursprung herum einwertig machen, während die R-Randbedingungen periodisch auf dem Zylinder werden antiperiodisch auf der Ebene und sind mit Spinfeldern verbunden, die Verzweigungsschnitte in der Ebene erzeugen.

Der NS-Sektor ist also der normale, während der R-Sektor der verdrehte ist. Aber der R-Sektor ist erlaubt, tatsächlich ist er für die modulare Invarianz erforderlich. Beim Typ 0 existieren nur NS-NS- und RR-Sektoren. In Typ-II-Theorien gibt es eine separate Orbifold- und separate GSO-Projektion auf der sich nach links und nach rechts bewegenden Seite.

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