Probleme, geschlossene String-BCs in Polyakov-Aktion zu verstehen

Polchinski [1] spezifiziert in (1.2.30) das

$$X^{\mu}(0,\tau) = X^{\mu}(l,\tau)$$ $$X'^{\mu}(0,\tau) = X'^{\mu}(l,\tau)$$ $$\gamma_{ab}(0,\tau) = \gamma_{ab}(l,\tau)$$ sind anzunehmen. In Worten, die Funktion$X^{\mu}(\tau,\sigma)$ist so, dass, wenn es bei ausgewertet wird$\sigma = 0$es muss die gleiche Funktion sein, die es hat$\sigma = l$. Also, wenn wir die Funktion variieren$X^{\mu}(\tau,\sigma)$durch Hinzufügen einer festen Funktion im Funktionsraum, Hinzufügen derselben Sache zu$X^{\mu}(\tau,\sigma)$bei$\sigma = 0$muss das gleiche Ergebnis liefern, das wir durch Hinzufügen derselben Sache zu erhalten haben$X^{\mu}(\tau,\sigma)$bei$\sigma = l$. Mit anderen Worten, wir können uns einfach bewerben$\delta$zu, dh nehmen Sie die Variation der ersten Gleichung oben: $$\delta X(0,\tau) = \delta X(l,\tau)$$ so dass $$[X' \cdot \delta X]^l_0 = X'(l,\tau) \cdot [\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau)] = 0$$ da das Ding in Klammern nach unserer obigen Argumentation Null ist. Wenn Sie es wirklich treiben wollen, können wir das letzte in Klammern als schreiben $$\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau) = \delta [X(l,\tau) - X(0,\tau)] = \delta [0] = 0.$$ Die meisten Bücher gehen einfach davon aus, dass die zweite und dritte Beziehung offensichtliche Konsequenzen der ersten sind, z. B. sagt die zweite in Worten, wenn die Funktion an den Endpunkten gleich ist, dann sollte ihre Ableitung an diesen Endpunkten auch gleich sein, und so sagen sie einfach die Randbedingungen werden automatisch für eine geschlossene Zeichenfolge erfüllt, ohne dass etwas geschrieben wird. Da die Variation kontrahiert ist, kann man sogar [2] die Randbedingungen annehmen $$X^{\mu}(\tau,l) = M^{\mu}_{\nu} X^{\nu}(\tau,0)$$ für$M$eine konstante invertierbare Matrix, so dass $$X'_{\mu}(\tau,l) \delta X^{\mu}(\tau,l) = X'_{\nu}(\tau,0) (M^{-1})^{\nu}_{\mu} M^{\mu}_{\rho} \delta X^{\rho}(\tau,0) = X'_{\nu}(\tau,0) \delta X^{\nu}(\tau,0)$$ das ruiniert die Interpretation der$X^{\mu}$als Koordinaten in der Raumzeit, aber in der Verdichtung usw. Sie können sehen, dass es relevant werden könnte.

Verweise:

1. Polchinski, „Stringtheorie“, Band 1.
2. Blumenhagen, Lust und Theissen, "Grundkonzepte der Stringtheorie", 1. Aufl.

Nach der Antwort von Bolbteppa und dem hilfreichen Kommentar von Gold und etwas Lektüre zu [1] entschied ich mich, diese Antwort zu schreiben. Lassen Sie der Einfachheit halber$X^\mu(\tau, \sigma) := \gamma^\mu(\sigma)$ für fest$\tau$mit$\sigma \in [0,l]$. Setze das durch$\gamma^\mu(0) =\gamma^\mu(l) = a^\mu$. Wir definieren eine beliebige Verformung von$\gamma^\mu$als eine Funktion$F_\gamma ^\mu : [-\epsilon, +\epsilon] \times [0,l] \longrightarrow \mathbb{R}$, so dass:

$$F_{\gamma} ^\mu(\alpha, \sigma) := \gamma^\mu _\alpha (\sigma) \ \text{for fixed $\alpha$} \tag1$$ Und $$F_\gamma^\mu(\alpha, \sigma) := \xi^\mu _\sigma(\alpha) \ \text{for fixed $\sigma$}\tag2$$ mit folgenden Bedingungen:

$$\gamma^\mu _0(\sigma) = \gamma^\mu(\sigma), \ \xi^\mu _0(\alpha) = \xi^\mu_l(\alpha).\tag3$$

Der$"\xi"$Bedingungen sind gleichwertig$\gamma^\mu_\alpha (0) = \gamma^\mu_\alpha(l)$, dh alle deformierten Kurven sind geschlossen und haben ihren Schnittpunkt für die gleichen Parameterwerte$\sigma=0, \sigma=l$, treffen sich aber nicht unbedingt am selben Punkt mit Koordinaten$a^\mu$.

Definieren Sie nach all dem Zeug die Variation von$\gamma^\mu$so dass

$$\delta X^\mu (\tau,\sigma) = \delta \gamma^\mu(\sigma) := \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0). \tag4$$

Unter Verwendung der zweiten Bedingung von$(3)$, wir haben das

$$\delta\gamma^\mu(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _0}{\text{d}\alpha}(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _l}{\text{d}\alpha}(0) = \delta \gamma^\mu(l)$$

Am Ende des Tages werden wir das haben$\delta X^\mu (\tau,0) =\delta X^\mu (\tau,l)$, wie gewünscht. Festsetzung$\sigma$es ist möglich, die zu erweitern$\xi^\mu _\sigma(\alpha)$mit einer Taylor-Entwicklung herum$\alpha =0$bis zur Erstbestellung:

$$\begin{align} \xi^\mu_\sigma(\alpha) &= \xi^\mu _\sigma(0) + \alpha \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0) + O(\alpha ^2)\\ &= \gamma^\mu(\sigma) + \alpha \delta \gamma^\mu(\sigma) + O(\alpha ^2) \end{align}$$ genauso wie die verwiesene Joshphysics-Antwort in meinem Beitrag, die sich etwas von der meisten Literatur unterscheidet, aber dennoch Sinn macht.

Referenzen :

1. R. Aldrovandi, JG Pereira. Eine Einführung in die geometrische Physik , 2. ed.