Idee hinter Compactified Boson

Lassen Sie uns die (Weltblatt-)Zeit unterdrücken$\tau$im Folgenden, dh einen festen Zeitpunkt betrachten$\tau$. Gegeben sei eine kontinuierliche Abbildung$\phi:\Sigma\to M$, wo der Weltraum$\Sigma$und der Zielraum$M$sind beide 1D-Mannigfaltigkeiten. Wir nehmen an, dass eine solche 1D-Mannigfaltigkeit entweder eine reelle Gerade ist$\mathbb{R}$oder ein Kreis$S^1\cong\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Das gibt$2\times 2= 4$Möglichkeiten, die zum Vergleich nützlich sind, um die Idee hinter einem kompaktifizierten Boson zu vermitteln. Beachten Sie die folgenden Beobachtungen:

1. Fälle, in denen der Zielraum$M=\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}$ist ein Kreis. Dann können wir den Kreis ersetzen$M$mit der echten Linie$\mathbb{R}$, wenn wir die Karte lassen$\phi$mehrwertig werden$x\mapsto [\phi_i(x)]_{i\in\mathbb{Z}}$, wo sich zwei Zweige unterscheiden

   $$\phi_i(x)-\phi_j(x)~\in~ 2\pi R\mathbb{Z}$$ um ein Vielfaches von$2\pi R$. (Der Begriff der Verzweigungen ist sinnvoll, da angenommen wird, dass die Karte kontinuierlich ist.)

2. Fälle, in denen der Weltraum$\Sigma=\mathbb{R}/L\mathbb{Z}$ist ein Kreis. Dann können wir den Kreis ersetzen$\Sigma$mit der echten Linie$\mathbb{R}$, wenn wir auferlegen, dass die Karte sein sollte$L$-periodisch. Das heisst

   $$\phi(x)~=~\phi(x+L) \quad\text{for}\quad M~=~\mathbb{R},\tag{1}$$ Und $$[\phi_i(x)]~=~[\phi_j(x+L)] \quad\text{for}\quad M~=~\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}.\tag{2}$$

3. Lassen Sie im Rest dieser Antwort das Ziel leer$M=\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}$kompakt sein, sodass die Karte mehrwertig ist. (i) Im Fall ohne $L$-Periodizität, wir können nur einen Zweig auswählen$x\mapsto \phi_i(x)$, und arbeite in diesem "Bild". Die verschiedenen Zweige reden sozusagen nicht miteinander. (ii) Im Fall von $L$-Periodizität, die Periodizitätsbedingung (2) kann sich auf verschiedene Zweige beziehen. Wenn wir (2) auspacken, darf es werden

   $$\phi_i(x)-\phi_i(x+L)~=~2\pi R m,$$ Wo$m\in\mathbb{Z}$wird Windungszahl genannt. Interessanterweise die Wickelzahl$m$hängt nicht davon ab, welcher Zweig (oder "Bild")$i\in\mathbb{Z}$, wir gebrauchen.

Beachten Sie zunächst, dass noch vor dem Einschränken der Domäne von$\phi$, betrachten wir die Theorie auf dem Zylinder und identifizieren die Randbedingung$\phi(x + L,t) = \phi(x,t)$.

Nehmen wir nun dieses Beispiel, um die Einschränkung zu erklären. Betrachten Sie eine Feldkonfiguration zu einem festen Zeitpunkt$\phi(x,0)$, wir müssen dies nur in der Domäne studieren$[0,L]$. Wählen Sie nun eine beliebige Konstante aus$R$, und infolge der Invarianz zu diesem festen Zeitpunkt die beiden Funktionen

$$\phi_I(x) \equiv \phi(x,0) \text{ and }\phi_{II}(x) \equiv \phi(x,0) - 2\pi R$$ Sind körperlich nicht zu unterscheiden. Nehmen wir nun zur Erklärung an, dass $0<\phi_I(x)<2\pi R$für einige Zeit $[0,L_1]$, Und $2\pi R<\phi_I(x)<4\pi R$für $[L_1,L]$.

Definieren Sie nun eine neue Feldkonfiguration

$$\phi'(x) =\left\{\begin{array}{cc} \phi_I(x) & x\in[0,L_1] \\ \phi_{II}(x) & x\in [L_1, L] \end{array}\right.$$

Physikalisch ist diese Funktion dann aber aufgrund der Verschiebungsinvarianz äquivalent$\phi'$ist darauf beschränkt, immer zufrieden zu stellen$0<\phi'<2\pi R$.

Sobald Sie dieses Verfahren verstanden haben, sollte klar werden, dass die Randbedingung$\phi(x+L,t) = \phi(x,t)$„bevor“ die Domain beschränkt wird, ist äquivalent zu$\phi(x+L,t)=\phi(x,t) + 2n\pi R$"nach" Einschränkung der Domain, wo jetzt$\phi'(x+L,t)=\phi'(x,t)$. Aber wie Sie sehen können, ist dies, obwohl dies lokal äquivalent zur vorherigen Randbedingung ist, allgemeiner, weil wir nicht fordern müssen, dass die vorbeschränkte Feldkonfiguration an der Grenze identisch gleich ist, und$n$kann als Windungszahl verstanden werden, denn nachdem wir den Zylinder einmal umrundet haben, hat sich die vorbeschränkte Feldkonfiguration geändert, also müssen wir berücksichtigen, dass, obwohl (lokal) vor und nach der Beschränkung gleich sind, an der Grenze etwas los ist ( global)