String-Randbedingungen

Ausgehend von der Randbedingung

$$\partial^{\sigma}X^{\mu}(\tau,0)=0$$ und das Senken des Index für das Derivat unter Verwendung der Metrik ergibt $$\gamma^{\sigma\tau}\partial_{\tau}X^{\mu}(\tau,0)+\gamma^{\sigma\sigma}\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,0) =0.$$ Offenbar will Polchinski dies in der Metrik ausdrücken $\gamma_{ab}$mit seinen Indizes gesenkt, anstatt in Bezug auf $\gamma^{ab}$(das Gegenteil von $\gamma_{ab}$). Wir können ausdrücken $\gamma^{ab}$bezüglich $\gamma_{ab}$mit der Formel für die Inverse von a $2\times 2$Matrix, in der Sie die diagonalen Ecken umdrehen und Minuszeichen an die nicht diagonalen Ecken setzen und dann durch die Determinante dividieren. Praktischerweise ist die Determinante $-1$so dividieren durch es ist nicht viel Arbeit. Die Formel gibt $$\gamma^{\sigma\sigma} = -\gamma_{\tau\tau} \\ \gamma^{\sigma\tau} = \gamma_{\tau\sigma}$$ Und so $$\gamma_{\tau\sigma}\partial_{\tau}X^{\mu}(\tau,0) -\gamma_{\tau\tau}\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,0)=0.$$ Ebenso bei $\sigma=l$.