Probleme mit der Bewegungsgleichung für ein gedämpftes Pendel?

Question

Probleme mit der Bewegungsgleichung für ein gedämpftes Pendel?

Miep

Ich habe kürzlich eine Frage zur Bewegung eines gedämpften Pendels gestellt, dachte jedoch, dass sich diese Frage von dem Problem unterscheidet, das ich in meinem vorherigen Beitrag angesprochen habe, und hielt es daher für besser, einen weiteren Beitrag zu erstellen (wollte nur klarstellen, falls jemand dachte, ich wäre es mehrere Posts zu ähnlichen Fragen zu erstellen).

Ich habe es mit einem gedämpften Pendel zu tun (bei dem die Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit ist) und komme auf die allgemeine Gleichung für gedämpfte harmonische Bewegung:

$\ddot \theta +\frac{b}{m}\dot \theta + \frac{g}{l} \theta =0$

Und ich werde gebeten, das zu überprüfen $\theta = Ae^{-\alpha t}$ ist eine Lösung und zu finden $A$ Und $\alpha$ .

Das Pendel wird bei seiner maximalen Amplitude von aus der Ruhe gelöst $\theta _0$ zum Zeitpunkt Null und in Sirup, dachte ich, die Randbedingungen wären:

Anfangen bei $\theta = \theta_0$
Geschwindigkeit (und $\dot \theta$ ) beginnen bei 0.

Durch Einsetzen der vorgeschlagenen Lösung in die obige allgemeine Gleichung für gedämpfte harmonische Bewegung habe ich das verstanden

$\alpha = \frac{b}{2m} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4m^2} - \frac{g}{l}}$

so klar $\alpha \neq 0$

Und von der ersten Bedingung verstehe ich das $A=\theta_0$

Allerdings habe ich zwei Probleme:

Ich kann diese Werte nicht mit der zweiten Randbedingung in Einklang bringen $\dot \theta =0$
Warum gibt es zwei Lösungen für Alpha? Welche physikalische Bedeutung haben diese? Meine Vermutung ist, dass das eine der Geschwindigkeit entspricht, die anfänglich zunimmt, wenn die Widerstandskraft klein ist, und das andere der langsamen Abklingzeit entspricht. Ich kann jedoch nicht sehen, wie beides wahr sein kann, wenn meine Gleichung impliziert, dass die Anfangsgeschwindigkeit / Winkelgeschwindigkeit meines Teilchens nicht Null ist!

Benutzer93237

Ich denke, dass Ihre Gleichung für die Bewegung des Pendels falsch ist. Der Term g/l sollte mit multipliziert werden

θ

$\theta$ .

blauvonblau

Nachdenken über die physikalische Bedeutung von

θ

$\theta$ , wie funktioniert

θ

$\theta$ positiv und negativ verändern

α

$\alpha$ ? Ein abklingendes Exponential oder positives Exponential malt zwei unterschiedliche physikalische Bilder. Denken Sie darüber nach, und Sie sollten in der Lage sein, zu schließen, warum zwei Lösungen von

α

$\alpha$ existieren, und ob Sie eine verwerfen sollten, weil es sich um eine nicht physische Lösung handelt

Benutzer1583209

α

$\alpha$ wird nie negativ sein. Es ist entweder eine positive reelle Zahl oder eine komplexe Zahl.

Miep

@bleuofblue Wenn

\frac{b^{2}}{4 m^{2}} > \frac{g}{l}

$\frac{b^2}{4m^2} >\frac{g}{l}$ Dann

α

$\alpha$ wird zwei positive Lösungen haben. In der Grenze das

b - > \infty

$b->\infty$ , werden die beiden Lösungen sein

α = 0

$\alpha =0$ Und

α = \frac{b}{m}

$\alpha=\frac{b}{m}$ . Es wird niemals einen positiven exponentiellen Anstieg des Winkels Theta geben!

Antworten (1)

Probleme mit der Bewegungsgleichung für ein gedämpftes Pendel?

Ich denke, dass Ihre Gleichung für die Bewegung des Pendels falsch ist. Der Term g/l sollte mit multipliziert werden $\theta$ .
Nachdenken über die physikalische Bedeutung von $\theta$ , wie funktioniert $\theta$ positiv und negativ verändern $\alpha$ ? Ein abklingendes Exponential oder positives Exponential malt zwei unterschiedliche physikalische Bilder. Denken Sie darüber nach, und Sie sollten in der Lage sein, zu schließen, warum zwei Lösungen von $\alpha$ existieren, und ob Sie eine verwerfen sollten, weil es sich um eine nicht physische Lösung handelt
$\alpha$ wird nie negativ sein. Es ist entweder eine positive reelle Zahl oder eine komplexe Zahl.
@bleuofblue Wenn $\frac{b^2}{4m^2} >\frac{g}{l}$ Dann $\alpha$ wird zwei positive Lösungen haben. In der Grenze das $b->\infty$ , werden die beiden Lösungen sein $\alpha =0$ Und $\alpha=\frac{b}{m}$ . Es wird niemals einen positiven exponentiellen Anstieg des Winkels Theta geben!

Benutzer1583209 · Answer 1

Ihre Berechnung von $\alpha$ ist richtig. Du hast zwei $\alpha$ , wie Sie es für homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung tun sollten. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist dann eine Linearkombination:

θ = C_{1} e^{- a_{1} T} + C_{2} e^{- a_{2} T}

$\theta = c_1 e^{-\alpha_1 t} + c_2 e^{-\alpha_2 t}$

Aus der ersten Randbedingung erhält man also:

C_{1} + C_{2} = θ_{0}

$c_1+c_2 = \theta_0$

Und die zweite Randbedingung ergibt:

C_{1} a_{1} + C_{2} a_{2} = 0

$c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 = 0$

Auflösen für $c_{1,2}$ du erhältst:

C_{1} = \frac{a_{2} θ_{0}}{a_{2} - a_{1}}

$c_1 = \frac{\alpha_2\theta_0}{\alpha_2 - \alpha_1}$

C_{2} = \frac{a_{1} θ_{0}}{a_{1} - a_{2}}

$c_2 = \frac{\alpha_1\theta_0}{\alpha_1 - \alpha_2}$

In Bezug auf Ihre Fragen. Dies sollte Ihr erstes Problem mit der zweiten Randbedingung lösen.

Warum gibt es zwei Lösungen für Alpha?

Weil es sich um eine lineare ODE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten handelt.

Differentialgleichungen lösen

Technisch gesehen sind Sie nicht von einer einzigen Lösung ausgegangen. Was Sie gemacht haben, war ein Ansatz, dh Sie haben versucht, ob $A e^{-\alpha t}$ ist eine Lösung. Sie haben festgestellt, dass es sich um eine Lösung für zwei verschiedene Möglichkeiten handelt $\alpha$ . Das heißt, Sie haben zwei Lösungen gefunden ( $\theta_{1,2}$ zur Differentialgleichung). Da es sich um eine lineare homogene ODE handelt, ist jede lineare Kombination dieser Lösungen auch eine Lösung. Beachten Sie, dass dies beides beinhaltet $\theta_1$ oder $\theta_2$ nur Lösungen, da einer der Koeffizienten in der Linearkombination Null sein könnte. Jetzt müssen Sie nur noch beweisen (oder einen Mathematiker fragen), dass dies alle Lösungen der Gleichung sind (was sie sind), dh jede Lösung dieser ODE kann als Linearkombination von geschrieben werden $\theta_{1,2}$ .

Physikalische Deutung

Die Geschwindigkeit ist (z $\alpha_1\neq\alpha_2$ ):

\dot{θ} = θ_{0} \frac{a_{1} a_{2}}{a_{1} - a_{2}} (e^{- a_{1} T} - e^{- a_{2} T})

$\dot{\theta} = \theta_0 \frac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2}\left(e^{-\alpha_1 t} - e^{-\alpha_2 t}\right)$

In der überdämpften Grenze ( $\frac{b}{2m}\gg\sqrt{\frac{g}{l}}$ ), $\alpha_1\gg\alpha_2$ und aus der Struktur der Geschwindigkeit in der obigen Gleichung sehen Sie, dass für kleine Zeiten ( $t\ll\alpha_1^{-1}$ ), die erste Exponentialfunktion ( $e^{-\alpha_1 t}$ ) regiert die Bewegung (Beschleunigung), während in der entgegengesetzten Grenze großer Zeiten ( $t\gg\alpha_2^{-1}$ ), bestimmt die zweite Exponentialfunktion die Bewegung (Verzögerung).

Danke für Ihre Antwort! Ich habe mich gefragt, warum bekomme ich zwei Lösungen, wenn ich überhaupt nur eine einzige Lösung angenommen habe (die ich ersetzt habe)? Warum ist die Lösung eine Linearkombination der beiden Lösungen und nicht entweder die eine oder die andere?
Ich habe oben noch eine Erklärung hinzugefügt. Alles klar jetzt?

Probleme mit der Bewegungsgleichung für ein gedämpftes Pendel?

Miep

Benutzer93237

blauvonblau

Benutzer1583209

Miep

Antworten (1)

Benutzer1583209

Differentialgleichungen lösen

Physikalische Deutung

Miep

Benutzer1583209

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