Stehende Welle an einem beidseitig befestigten Seil: Minuszeichen in der reflektierten Welle

Question

Stehende Welle an einem beidseitig befestigten Seil: Minuszeichen in der reflektierten Welle

Wellen
Schnur
Physik
Interferenz
Randbedingungen
Kontinuumsmechanik

Sorën

Ich studiere stehende Wellen an einem beidseitig befestigten Seil . In einigen Büchern finde ich, dass die untersuchte Wellenfunktion die Summe der einfallenden Wellen ist $\xi_1(x,t)$ und der reflektierten Welle $\xi_2(x,t)$ .

\begin{matrix} (1) & ξ (X, T) = ξ_{1} (X, T) + ξ_{2} (X, T) = A S ich N (k X - ω T) + A S ich N (k X + ω T) = 2 A S ich N (k X) C Ö S (ω T) \end{matrix}

$\xi(x,t)=\xi_1(x,t)+\xi_2(x,t)=A \mathrm{sin} (k x-\omega t)+ A \mathrm{sin}(kx+\omega t)=2 A \mathrm{sin}(kx)\mathrm{cos}(\omega t)\tag{1}$

Das ist also die Summe zweier Wellen, die sich nur darin unterscheiden, dass die eine progressiv und die andere regressiv ist.

Meine Zweifel bestehen darin, dass sich das feste Ende des Seils nicht bewegen kann, also eine Totalreflexion stattfindet $\xi_1(x,t)$ sondern die reflektierte Welle $\xi_2(x,t)$ ist im Gegensatz zur Phase (dh umgekehrt), in Bezug auf $\xi_1(x,t)$ . Sollte also nicht $\xi_2(x,t)$ Sei

ξ_{2} (X, T) = - A S ich N (k X + ω T)

$\xi_2(x,t)=- A \mathrm{sin}(kx+\omega t)$

? Die Situation ist die auf dem Bild.

Wenn das dann richtig war, $(1)$ würde wechseln zu

\begin{matrix} (2) & ξ (X, T) = ξ_{1} (X, T) + ξ_{2} (X, T) = A S ich N (k X - ω T) - A S ich N (k X + ω T) = 2 A C Ö S (k X) S ich N (ω T) \end{matrix}

$\xi(x,t)=\xi_1(x,t)+\xi_2(x,t)=A \mathrm{sin} (k x-\omega t)- A \mathrm{sin}(kx+\omega t)=2 A \mathrm{cos}(kx)\mathrm{sin}(\omega t)\tag{2}$

Übersehe ich etwas oder stimmt die Begründung irgendwie? Wenn ja, sind $(2)$ Und $(1)$ gleichwertig?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/32122/2451 und Links darin.

Antworten (2)

Stehende Welle an einem beidseitig befestigten Seil: Minuszeichen in der reflektierten Welle

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/32122/2451 und Links darin.

Dirakologie · Answer 1

Sie sind nicht gleichwertig. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, die diesen Lösungen zugeordneten normalen Moden zu finden.

Anwenden der Bedingung $\xi(L,t)=0$ Zu

ξ (X, T) = 2 A S ich N (k X) C Ö S (ω T),

$\xi(x,t)=2 A \mathrm{sin}(kx)\mathrm{cos}(\omega t),$ du erhältst

k L = n π

$kL=n\pi$ . Das gibt

λ_{n} = 2 L / n

$\lambda_n=2L/n$ Und

f_{n} = n v / 2 L

$f_n=nv/2L$ . Welches sind die richtige Wellenlänge und Frequenz für das Seil, bei dem beide Enden befestigt sind?

Für die zweite Lösung

ξ (X, T) = 2 A C Ö S (k X) S ich N (ω T),

$\xi(x,t)=2 A \mathrm{cos}(kx)\mathrm{sin}(\omega t),$ Sie erhalten

k L = (2 n - 1) π / 2

$kL=(2n-1)\pi/2$ . Wellenlänge und Frequenz sind

λ_{n} = 4 L / (2 n - 1)

$\lambda_n=4L/(2n-1)$ Und

f_{n} = (2 n - 1) v / 4 L

$f_n=(2n-1)v/4L$ , die den normalen Moden eines Seils mit einem festen und einem freien Ende zugeordnet sind.

Daher ist die erste Lösung die richtige. Andererseits haben Sie recht, wenn Sie sagen, dass die reflektierte Welle ihre Phase invertieren muss. Die Lösung dieses scheinbaren Paradoxons besteht darin, dass die Reflexion nicht einfach ist $A\sin(kx-\omega t)\rightarrow -A(kx+\omega t)$ . Wenn Sie anrufen $f(x-vt)$ die einfallende Welle u $g(x+vt)$ die reflektierte Welle ist die vollständige Lösung

ξ (X, T) = F (X - v T) + G (X + v T) .

$\xi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt).$ Bewirbt sich

ξ (0, t) = 0

$\xi(0,t)=0$ wir bekommen

f (- v t) = - g (+ v t)

$f(-vt)=-g(+vt)$ oder

g (x^{'}) = - f (- x^{'})

$g(x')=-f(-x')$ ,

\forall x^{'}

$\forall x'$ . Dies gilt insbesondere dann, wenn

x^{'} = x + v t

$x'=x+vt$ . Die Überlagerung lautet

ξ (X, T) = F (X - v T) - F (- (X + v T)) .

$\xi(x,t)=f(x-vt)-f(-(x+vt)).$ Wenn

f (x - v t) = A \sin (k x - ω t)

$f(x-vt)=A\sin(kx-\omega t)$ , Dann

ξ (X, T) = A Sünde (k X - ω T) + A Sünde (k X + ω T) .

$\xi(x,t)=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t).$

Wie wir sehen können, ist die richtige Reflexion für eine harmonische Welle

A Sünde (k X - ω T) \to - A Sünde (- (k X + ω T)) = A Sünde (k X + ω T) .

$A\sin(kx-\omega t)\rightarrow -A\sin(-(kx+\omega t))=A\sin(kx+\omega t).$

Beachten Sie, dass, wenn Sie verwendet hätten $A\cos(kx\pm \omega t)$ Stattdessen würden Sie die Reflexion erhalten

A \cos (k X - ω T) \to - A \cos (k X + ω T) .

$A\cos(kx-\omega t)\rightarrow -A\cos(kx+\omega t).$

@Sørën Bitte schau dir die Antwort noch einmal an. Ich habe versucht, den Punkt, den Sie erwähnt haben, klar zu machen.
Vielen Dank! Es ist jetzt klarer, wenn ich fragen darf, ich sehe immer noch nicht ganz klar, wie davon auszugehen ist $f(-vt)=-g(vt)$ Zu $g(x')=-f(-x')$ mit $x'=x+vt$ . Ich meine den Zustand $f(-vt)=-g(vt)$ gilt in $x=0$ (das ist die Randbedingung), dann können wir daraus sagen, dass sie automatisch für alle anderen gilt $x$ , dh $g(x')=-f(-x')$ mit $x'=x+vt$ ?

ZACHASON · Answer 2

Wenn die Phasendifferenz zwischen den Wellen Null ist, dh in der Ebene der Wellenbewegung liegt, ist die resultierende Verschiebung gleich Null. $A = 0$ , $(L,t)=0$ , aufgrund dieser Tatsache können Sie verwenden

A Sünde (k X - ω T) \to - A Sünde (- (k X + ω T)) = A Sünde (k X + ω T)

$A\sin(kx−\omega t)\to-A\sin(-(kx+\omega t))=A\sin(kx+\omega t)$ für progressive Welle, aber nichts kann passieren, wenn Sie die Kosinusregel verwenden, weil Sie uns für die maximalen Knoten aber eine Antwort gleich Null geben

\sin Q = 1

$\sin Q = 1$ .

Stehende Welle an einem beidseitig befestigten Seil: Minuszeichen in der reflektierten Welle

Sorën

QMechaniker

Antworten (2)

Dirakologie

Dirakologie

Sorën

ZACHASON

Warum stoppt destruktive Interferenz eine Welle nicht?

Wellenreflexion und Open-End-Randbedingungsintuition

Ableitung der Transversalwellengeschwindigkeit für kleine Amplituden

Randbedingungen der Wellengleichung

Wie können Transversalwellen auf einer Saite Längsimpuls übertragen?

Welche Art von Bewegung verhält sich eine Saite, wenn die Bedingung zur Bildung stehender Wellen nicht erfüllt ist?

Schwingende Saite, Randbedingung freies Ende

Lösen einer Wellengleichung (Partielle Differentialgleichungen) [geschlossen]

Warum ist KE gleich PE für Wellen auf einer Saite? Klärung erforderlich

Falsches Ergebnis für eine stehende Welle an einem Seil mit freien Enden [geschlossen]