Ableitung der Transversalwellengeschwindigkeit für kleine Amplituden

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Das Obige ist eine Ableitung für die Wellengeschwindigkeitsgleichung in meinem Physiklehrbuch. Ich habe jedoch online gelesen, dass diese Gleichung nur für Wellen mit kleinen Amplituden gilt. Ich sehe nicht, wo diese Annahme in der Ableitung gemacht wird, warum gilt die Gleichung also nur für kleine Amplituden?

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Das obige Bild zeigt, dass die vertikale Rückstellkraft 2*T*sin(phi) betragen sollte

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Die Erklärung ist nicht sehr vollständig. Wie Sie richtig bemerken, nehmen Sie eine Grenze, so die Annahme Sünde ⁡ θ → θ als δ z → 0 wird exakt. Gl. 16-23 enthält also keine Näherung.

Die Annahme schleicht sich subtil ein, wenn man davon ausgeht, dass die in Gl. 16-23 berechnete Kraft im rechten Winkel zur steht z Achse. Das ist das D j / D z klein ist, so dass die Normale zur Tangente der Kurve im Diagramm ungefähr senkrecht bleibt. Der beste Weg, all dies zu verstehen, besteht darin, eine genauere Gleichung auszuarbeiten; dann die vertikale Komponente der Kraft, die die kleine Länge wiederherstellt D S der Schnur ist

T ∂ θ cos ⁡ θ = D S T ∂ θ ∂ S cos ⁡ θ = D S T ∂ 2 j ∂ z 2 1 ( 1 + ( ∂ j ∂ z ) 2 ) 2

(daran erinnernd ∂ θ ∂ S die Krümmung der Saite ist und dann die Formel für die Krümmung verwendet) und DANN nähern Sie sich dem an ∂ j ∂ z ≪ 1 und äquivalent dazu D z = D S . Die Näherung für kleine Amplituden ist dann indirekt: Wir gehen direkt von kleinen Gradienten aus, die kleine Amplituden implizieren und implizieren, da wir wissen, dass die Wellenlänge begrenzt ist.

Wie hast du die Ausgangsgleichung T dtheta cos(theta) erhalten? Soll im letzten Schritt der Nenner mit 3/2 potenziert werden? Haben Sie cos(theta) durch cos(0) ersetzt, da theta klein ist? Können wir die Kraft nicht rechtwinklig zur z-Achse machen, indem wir ds klein machen? Wir wissen, dass die Tangente in der Mitte flach ist, also wird die Zugkraft ungefähr flach sein, wenn wir in der Nähe der Mitte bleiben, richtig?
Die Formel ist einfach die gleiche wie 16-23 in Ihrem Text mit a cos ⁡ θ hinzugefügt, um die Tatsache zu berücksichtigen, dass die Kraft nicht perfekt vertikal ist, sondern durch den Gradienten der Saite verzerrt wird. Und Sie haben Recht mit dem Fehlen 3 / 2 Macht, ich habe es jetzt wieder in seiner ganzen Pracht (es multipliziert die cos ⁡ θ Faktor, der jetzt die Zweierpotenz im Nenner auf der rechten Seite wird). Außerdem können Sie die Kraft nicht an allen Punkten rechtwinklig machen: Denken Sie daran, dass angenommen wird, dass die Saite perfekt biegbar ist, was bedeutet, dass sie keiner Scherung widerstehen kann und nur entlang ihrer Tangente Spannung ausüben kann.
erklärt die Sünde (Theta) im Lehrbuch nicht bereits die Schräglage?
@roobee Nein, es misst einfach die Bogenlänge. Ich hätte wahrscheinlich ein anderes Symbol von verwenden sollen θ ; im Buch ist es einfach der Winkel, den der Fadenabschnitt im Krümmungszentrum einschließt, und wir sollten beispielsweise ein zweites Symbol verwenden ϕ , um die Schräglage zu messen.
Ich habe ein Bild in meiner Frage hinzugefügt. Ich habe Theta durch Phi ersetzt. Es zeigt, dass die vertikale Komponente der Kraft 2*T*sin(phi) ist, also zeigt das nicht, dass sin(phi) für die Schräglage verantwortlich ist?

Auf Anhieb wird in Gl. (16-23) angenommen, dass die Rückstellkraft linear in der Verschiebung ist. Das gilt nur für kleine Verschiebungen.

Beziehen Sie sich darauf, wo sich Sin (Theta) in Theta ändert? Wenn ja, dachte ich, das lag daran, dass Theta klein war, weil das Segment klein war, und nicht, weil die Amplitude klein war.
Nein, bin ich nicht. Ich bezog mich auf die Annäherung, die τ wird als Konstante angenommen, während wir wissen, dass die Spannung zunimmt, wenn die Saite gedehnt wird. Wie Sie jetzt sehen können, steckt jedoch mehr dahinter.
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