Die baumelnde Kette - Hilfe bei der Ableitung

Ich versuche, die hier gegebene Ableitung der Normalmoden einer baumelnden Kette zu verstehen [pdf].

Der Autor betrachtet eine Kette mit Dichte pro Längeneinheit$\rho$hängt an einem festen Punkt und nimmt mit dem ein Koordinatensystem ein$x$Achse, die vom losen Ende der Kette in ihrer Gleichgewichtsposition senkrecht nach oben zeigt und die$u$Achse zeigt nach rechts. Die horizontalen Verschiebungen werden als klein angesehen, so dass Abstände entlang der Kette angenähert werden können als Abstände entlang$x$.

Die Spannung in der Kette bei Position$x$Ist$w(x) = \rho g x$und die Beschleunigungskraft ist auf die Differenz der horizontalen Komponenten der Spannung an den Enden eines kleinen Kettenintervalls zurückzuführen,$\Delta x$.

Wenn das Segment bei$x$ist um einen Winkel von der Senkrechten verschoben$\alpha$, die horizontale Komponente der Spannung ist$F(x) = w(x)\sin\alpha \approx Wu_x$. Ich glaube, ich verstehe das – wenn die Notation$u_x$bedeutet$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x$. Der Autor sagt dann:

Der Kraftunterschied zwischen den Punkten ändert sich [sic – ich glaube „Kette“ ist gemeint] bei$x$Und$x+\Delta x$Somit$\Delta F = \Delta x(w u_x)_x$.

Dieses Bit verstehe ich nicht. Wie funktioniert$\Delta F = w(x+\Delta x) u_x - w(x)u_x$der obige Ausdruck werden?