Wie lautet die Gleichung für eine an beiden Enden fixierte Saite ohne vereinfachende Annahmen?

Lassen$T(x)$sei der Modul der Spannung und$T_x$,$T_y$seine horizontalen und vertikalen Komponenten.

Angenommen, ein kleines Element der Zeichenfolge hat eine Länge$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Da Spannung die einzige horizontale Kraft ist, haben wir$T_x(x)=T_x(x+dx)$was sagt$T_x=T_0$oder$T(x)\cos(\theta)=T_0$.

Die vertikale Spannungsdifferenz ist$T_y(x+dx)-T_y(x)=\frac{\partial T_y}{\partial x}dx$. Aber$T_y(x)=T(x)\sin(\theta)=T_0\tan\theta=T_0\frac{\partial y}{\partial x}$, So$T_y(x+dx)-T_y(x)=T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx$.

Vertikale Nettokraft wird sein$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds$, Wo$F(x)$wird nach unten angenommen. Beachten Sie, wie wir die Kraft als proportional nehmen$dx$und nicht$ds$, vorausgesetzt, es wirkt nur auf die horizontale Breite des Elements. Andererseits ist die Masse definitiv proportional dazu$ds$.

Die Nettokraft muss gleich Masse mal Vertikalbeschleunigung sein,$\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds$.

Das gibt

$$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds.$$

Aufteilung durch$dx$, wir bekommen

$$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-F(x)-\rho g \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}=\rho \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

Ich glaube, das ist die exakte Gleichung. Im stationären Bereich ergibt es eine Parabel für eine konstante Kraft, wenn wir das Gewicht ignorieren, und eine Oberleitung für keine äußere Kraft.

Beachten Sie jedoch, dass es sich nur auf die übliche Wellengleichung reduziert$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$wenn wir das Gewicht ignorieren, setzen$F=0$und auch annehmen$\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\approx 1$.

Die stationäre Oberleitung entsteht, wenn$F(x)=0$; die stationäre Parabel entsteht, wenn$F(x)\gg\rho(x)g$. (Zufällig habe ich hier darüber geschrieben .)

Allgemeiner könnte man einen Kraftausgleich an einem Differentialelement der Saite durchführen, um zu erhalten

$$\frac{\partial\mathbf{T}(s,t)}{\partial s}+\mathbf{F}(s)-\rho(s)g\mathbf{k}=\rho(s)\frac{d^2 \mathbf{x}(t)}{d t^2}$$ wobei die fett gedruckten Parameter der Spannungsvektor sind $\mathbf{T}$, verteilte Kraft $\mathbf{F}(s)$, Elementposition $\mathbf{x}$, und dem Einheitsvektor $\mathbf{k}$in vertikaler Richtung u $s$ist der Abstand entlang der Schnur. Dazu müssen Sie auch eine Beziehung zwischen hinzufügen $|\mathbf{T}(s)|$Und $ds$. Wenn die Zeichenfolge zum Beispiel inextensional ist, dann $s$ist konstant. Diese maßgebliche Gleichung ist unabhängig von der Position des Endpunkts und kann Kräfte und Verschiebungen in jeder Richtung und für eine gekrümmte Saite aufnehmen.

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