Warum ist KE gleich PE für Wellen auf einer Saite? Klärung erforderlich

Kinetische Energie einer ebenen progressiven Welle in einer Saite:

Betrachten Sie ein kleines Element der Zeichenfolge in einiger Entfernung$x$Vom Ursprung$dx$.

KE dieses kleinen Teils der Zeichenfolge ist:

$$\frac{1}{2}(\mu dx)(\frac{\partial y}{\partial t})^2$$

Potenzielle Energie einer ebenen progressiven Welle in einer Saite:

Betrachten Sie wieder ein kleines Element der Zeichenfolge in einiger Entfernung$x$Vom Ursprung$dx$.

Da es keine Bewegung in x-Richtung gibt, bewegen sich Punkte auf der Schnur nur in y-Richtung. Wenn sich die Steigung eines Segments ändert, muss sich auch die Länge ändern. Da das Dehnen der Saite Arbeit erfordert, ist in der Saite auch potenzielle Energie gespeichert. Die Längenänderung eines Segments beträgt:

$$dl = \sqrt{dx^2 + dy^2} − dx ≈ \frac{1}{2}(\frac{∂y}{∂x})^2dx$$

Daher ist die potentielle Energie dieses kleinen Teils der Saite:

$$Tdl=T\left(\frac{1}{2}(\frac{∂y}{∂x})^2dx\right)$$

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Daher gilt für die Einheitslänge der Zeichenfolge:

$$K_l=\frac{1}{2}(\mu)(\frac{\partial y}{\partial t})^2$$

$$U_l=T\left(\frac{1}{2}(\frac{∂y}{∂x})^2\right)$$

Wenn$y=f(x \pm vt)$(allgemeine Lösung der Wellengleichung für Wanderwellen)

$$K_l=\frac{1}{2}(\mu)v^2(f')^2$$

$$U_l=\frac{1}{2}T(f')^2$$

Jetzt mit$v^2=\frac{T}{\mu}$das können wir leicht erkennen$K_l=U_l$.

Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nur für eine einzelne Wanderwelle gilt; es ist nicht wahr, wenn Wellen vorhanden sind, die in beide Richtungen laufen!

Quelle: http://mpalffy.lci.kent.edu/Optics/Chapters/Ch1_Waves_on_a_String.pdf

Ich verstehe nicht, warum der KE für eine Welle an einer Saite gleich dem PE sein sollte, außer für eine bestimmte Zeit (wie eine Masse, die auf einer Feder schwingt). Stellen Sie sich zum Beispiel eine einfache stationäre Welle an einer Saite vor. Irgendwann ist die ganze Saite augenblicklich gerade (zu diesem Zeitpunkt: PE = 0, da es in diesem Moment keine Deformation der Saite gibt ), während jeder Teil der Saite in Bewegung ist (KE != 0). Also eindeutig KE != PE zu diesem Zeitpunkt (augenblicklich gerade Saite, während sich die Welle noch darauf ausbreitet).

Allerdings ist KE + PE = cste (Erhaltung der Gesamtenergie), wenn es keinen äußeren Einfluß gibt.

Dies ist dem einfacheren Fall einer einzelnen Masse, die auf einer vertikalen Feder schwingt, sehr ähnlich. Irgendwann bekommen Sie vielleicht$K = U$, aber in einem anderen Moment wirst du auch haben$U = 0$Und$K = K_{\text{max}}$, während$E \equiv K + U = \textit{cste}$jederzeit . _

EDIT: Für eine allgemeine Welle (der Wellenfunktion$y(t, x)$) an einer Saite mit festen Enden :$y(t, 0) = y(t, L) = 0$, ist es einfach, die partielle Integration und die Wellengleichung zu verwenden, um Folgendes zu zeigen:

Gesamte kinetische Energie:

$$\begin{equation}\tag{1} K = \int_0^L \frac{1}{2} \Big( \frac{\partial y}{\partial t} \Big)^2 \, \lambda \, dx. \end{equation}$$ Gesamte potentielle Energie (beachten Sie das $v^2 = T/\lambda$) : $$\begin{equation}\tag{2} U = \int_0^L \frac{v^2}{2} \Big( \frac{\partial y}{\partial x} \Big)^2 \, \lambda \, dx. \end{equation}$$ Wellengleichung: $$\begin{equation}\tag{3} \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \, y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \, y}{\partial x^2} = 0. \end{equation}$$ Somit ergibt die partielle Integration diese Beziehung: $$\begin{equation}\tag{4} U = K - \frac{\lambda}{4} \, \frac{d^2 \, }{d t^2} \int_0^L y^2(t, x) \, dx. \end{equation}$$ Bleibt also die Fläche unter der Saite konstant, während sich die Welle ausbreitet (genauer gesagt die Fläche der Funktion $y^2(t, x)$), der letzte Begriff entfällt und Sie erhalten $U = K$. Im einfachen Fall eines sich auf der Saite ausbreitenden Impulses (zB Sinuswelle) bleibt die Fläche also erhalten $U = K$. Dies ist jedoch ein Sonderfall. Im Falle einer stationären Welle ist die Fläche nicht erhalten und $U \ne K$.

Kommentare für eine einheitliche harmonische Saite:

1. Für einen Quer- oder Längs-Links- oder Rechts-Mover$f(x\pm vt)$, ist es eine einfache Aufgabe, die kinetische Energiedichte direkt zu überprüfen$\frac{\mu v^2}{2} (f^{\prime}(x\pm vt))^2$entspricht der potentiellen Energiedichte, und daher

   $$KE=PE.\tag{1}$$

2. Gl. (1) gilt aufgrund von Kreuztermen nicht unbedingt für Überlagerungen davon, gilt jedoch aufgrund des Virialsatzes im Zeitmittel .