Konsequenter Nachweis gleicher Spannung an beiden Enden

Es gibt immer einen Punkt in der Einführung in die Mechanik, der mich seit meinem ersten Physikkurs ständig beschäftigt - Warum hat ein masseloses Seil an beiden Enden die gleiche Spannung?

Ich habe in verschiedenen Lehrbüchern auf verschiedenen Niveaus nach einer guten Erklärung gesucht, aber keines davon hat mir eine zufriedenstellende Erklärung geliefert. Sie entweder

  1. Sagen Sie direkt "wir gehen davon aus, dass die Saite masselos ist und die Rolle keine Reibung hat, daher muss die Spannung über die gesamte Saite gleich sein" ohne weitere Ausführungen und fahren Sie mit der Berechnung fort,

  2. Behaupten Sie ohne jeden Grund, dass "immer wenn Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sind, die Spannung auf beiden Seiten gleich ist", oder

  3. Erklären Sie in einer oder zwei Zeilen mit vielen Handbewegungsargumenten in Bezug auf unendliche Beschleunigung, Trägheitsmoment ungleich Null usw.

Obwohl diese mit der Hand winkenden Argumente vom Typ sind ( 3 ) klingen für mich durchaus vernünftig und werden mich jedes Mal, wenn ich sie rezensiere, für eine Weile überzeugen. Aber nach einer Weile werde ich mich bei diesem ganzen Spannungskonzept wieder unwohl fühlen.

Daher suche ich nach einem rigorosen (im Sinne des Physikers) Beweis dafür, warum und wann die Seilspannung gleichmäßig ist, und hoffentlich kann ich damit alle meine konzeptionellen Schwierigkeiten beseitigen.

Nehmen Sie ein gerades Segment AB des Seils. Wenn sich dieses Segment mit Beschleunigung geradlinig entlang der Linie AB bewegt A Und F A , F B die Spannungen an den Enden A,B jeweils dann
F A + F B = M ⋅ A = 0 ⋅ A = 0
So F A = − F B .
Sieht nach einer interessanten Frage aus, aber wie kann ein Seil keine Masse haben? Sogar der wissenschaftliche Fall einer Saite mit Nullsteifigkeit hat eine lineare Masse. Was ist die Physik dahinter? Wenn die Situation physikalisch unmöglich ist, kann dies erklären, warum es schwierig oder unmöglich ist, dies zu rechtfertigen, es sei denn, Sie erstellen ein Ad-hoc-Modell (ich frage mich, ob es sinnvoll ist, zu schreiben F = M A wenn keine Masse vorhanden ist).
@claudechuber wie üblich sind solche Annäherungen der Physik 101 nicht genau physikalisch, aber sie können oft als Annäherungen verstanden werden, die in physikalisch realisierbaren Regimen vernünftig sind. Ein "masseloses" Seil ist eines, das an beiden Enden an etwas viel Massiverem als das gesamte Seil befestigt ist, so dass der Unterschied in der Spannung der Leine aufgrund der Masse des Seils selbst viel kleiner ist als die Kraft aufgrund des befestigten Materials . Siehe unten.
@dmckee Du erzählst also das Newtonsche 2d-Gesetz F = M A immer noch sinnvoll (anwendbar), wenn die Masse Null ist?
@claudechuber Diese Methode, Newtons zweites Gesetz direkt anzuwenden und zu argumentieren, dass die Nettokraft Null sein muss, um eine unendliche Beschleunigung zu vermeiden, ist genau die Art und Weise, wie mir beigebracht wurde, mit Systemen mit dieser Art von idealisiertem masselosem Objekt umzugehen (Argumente vom Typ (3)). . Diese Art der Analyse klingt zwar recht intuitiv, ist für mich aber etwas nicht überzeugend. Aus diesem Grund hoffe ich auf einen strengeren Weg, um dasselbe Ergebnis für ein masseloses Objekt als Grenzfall zu erhalten.
-1. Warum könnte die Spannung an den beiden Enden unterschiedlich sein? Sie haben weder Gegenargumente vorgebracht noch auf konzeptionelle Schwierigkeiten mit der Prämisse hingewiesen, dass die Spannung dieselbe ist. Andere Argumente als "handwinkend" abzutun, ohne anzugeben, was diese Argumente sind (oder einen Link bereitzustellen), ist nicht zufriedenstellend. Was Sie verlangen, ist ein Beweis, der Ihre Zustimmung findet.
@claudechuber Nein. Ich sagte, dass eine solche Situation nicht körperlich ist. Es ist eine Abkürzung für eine Annäherung, bei der die Masse des Seils klein genug ist, um die Dinge, die Sie zu berechnen versuchen, sinnvoll zu beeinflussen. Wie Sie unten sehen, kann die explizite Sorge um die Masse des Seils eine Berechnung manchmal so schwierig machen, dass die Lektion verschleiert wird. Schüler der ersten Klasse sind nicht gut damit bedient, sie mit einem Haufen pedantischer Mathematik zu bewerfen. Das können sie beim zweiten Mal abholen.
@dmckee Aber in Ihrer Antwort unter Punkt 1 sagen Sie "das Seil unterliegt einer externen Nettokraft von Null (nach Newtons 2. Gesetz)", was mich verwirrt, da ich verstanden habe, dass Sie dort den Fall eines masselosen Seils angesprochen haben (was war die Frage). Bei einem Seil mit Masse gibt es natürlich kein Problem. Ich verstehe zwar die Kurzschrift, die darauf abzielt, den Fall einer kleinen Masse zu approximieren, aber normalerweise können Approximationen per se gerechtfertigt werden, auch wenn sie nicht physikalisch sind, während ich mir hier um eine saubere Begründung per se des masselosen Grenzfalls Sorgen mache, weil ich eine Schwierigkeit darin sehe verwenden F = M A In diesem Fall.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/156413/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (2)

Ich betrachte nur straffe, nicht dehnbare Seile. Dies stellt einen Näherungsbereich dar, bei dem die Spannung viel geringer ist als der Elastizitätsmodul des Seilmaterials multipliziert mit der Querschnittsfläche des Seils. (Wie wir sehen werden, reicht diese Bedingung aus, um die Schlussfolgerung für gerade Abschnitte des Seils zu garantieren, solange sie im Vergleich zu dem, woran sie befestigt sind, leicht sind.)

  1. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall: Es gibt einen Bezugsrahmen, in dem das gesamte Seil stillsteht.

    In diesem Fall können wir folgendermaßen argumentieren: Das Seil unterliegt einer externen Nettokraft von Null (nach Newtons 2. Gesetz). Darüber hinaus muss jedes innere Element des Seils gleichen und entgegengesetzten Kräften von benachbarten Elementen ausgesetzt sein. Diese Kräfte sind die Spannung im Seil, also ist die Spannung überall gleich.

    [Beachte, dass das Seil nicht masselos sein muss.]

  2. Der nächsteinfachste Fall ist, dass sich das Seil mit konstanter Geschwindigkeit entlang seiner eigenen Länge bewegt, aber es kann über kreisförmige Riemenscheiben ohne Reibung am Lager (aber mit ausreichender Reibung an der Rille, damit das Seil nicht rutscht) und dergleichen laufen gegeben Ein Teil des Seils kann manchmal die Richtung ändern.

    Das Argument in Teil (1) gilt für Segmente zwischen den Riemenscheiben.

    Die Riemenscheiben selbst haben keine Winkelbeschleunigung und sind daher einem Nettodrehmoment von null ausgesetzt. Die Segmente auf beiden Seiten der Riemenscheibe haben also die gleiche Spannung, weil sie gleiche und entgegengesetzte Drehmomente ausüben müssen.

    [Beachten Sie, dass weder das Seil noch die Rollen masselos sein müssen.]

  3. Nun kommen wir zu Fällen, in denen das Seil entlang seiner eigenen Länge beschleunigt wird.

    Wenn wir von einem masselosen Seil ausgehen, würde jede Spannungsänderung entlang der Länge eine willkürliche Beschleunigung verursachen. Das ist ein unangenehmer Fall, weil es nicht physikalisch ist, aber es stellt eine Annäherung an ein Regime dar, in dem die Masse des Seils viel kleiner ist als die Masse von allem, womit es verbunden ist. Demonstration Atwoods Maschinen sind ungefähr so.

  4. Ein gerades, massives Seil (Segment), das entlang seiner eigenen Länge beschleunigt. Das Segment unterliegt einer externen Nettokraft F N = F 1 − F 2 Wo F 1 Und F 2 sind die Nettokräfte an beiden Enden, so dass die Beschleunigung ist A = F N / M . Es wird angenommen, dass das Seilsegment eine einheitliche Massendichte hat λ = M / l . Bei jedem Bruchteil F Entlang der Länge des Seils muss die Spannung so sein, dass das Segment auf jeder Seite der konzeptionellen Teilung die gleiche Beschleunigung hat (um eine Dehnung zu verhindern, ohne Schlaffheit zuzulassen). Spannung also τ (was in jeder Richtung von Newtons 3. Gesetz gleich ist) an der Position F l müssen die Anforderungen erfüllen

    A 1 = F 1 − τ λ F l ,
    Und
    A 2 = τ − F 2 λ ( 1 − F ) l ,
    Wo A ich ist die Beschleunigung des Segments, das näher an der Kraft liegt F ich , Und A 1 = A 2 erforderlich. Daher
    F 1 − τ λ F l = τ − F 2 λ ( 1 − F ) l F 1 − τ F = τ − F 2 1 − F ( 1 − F ) ( F 1 − τ ) = F ( τ − F 2 ) − τ = ( F − 1 ) F 1 − F F 2 τ = F 1 − F F N .
    Das hängt jetzt davon ab F , was bedeutet, dass es nicht konstant ist, richtig?

    OK, aber der Begriff ist F F N , Und F N = M A Wo M ist die Masse des Seilsegments. Wenn also das Seil viel weniger massiv ist als die Dinge, die an seinen Enden befestigt sind, können diese Bedingungen im Vergleich dazu vernachlässigt werden F 1 (oder tatsächlich F 2 da die Beschriftung willkürlich ist). Dann bekommen wir

    τ ≈ F 1 ,
    was die Behauptung in Punkt (3) rechtfertigt, dass der hypothetische „masselose“ Zustand eine Annäherung an „sehr leicht“ ist.

  5. Als nächstes könnten wir diese Dinger über reibungsarme Riemenscheiben laufen lassen. Wir können die Schlussfolgerung „durchweg die gleiche Spannung“ nur dann wiedergewinnen, wenn die Riemenscheiben auch „sehr leicht“ sind, sodass wir ein Argument wie das in Punkt (2) verwenden können, da das Drehmoment an ihnen aus einer im Vergleich zu kleinen Kraft entsteht F 1 oder F 2 .

  6. Sobald die Rollen eine nicht triviale Masse haben und das Seil beschleunigt wird, muss davon ausgegangen werden, dass die Segmente unterschiedliche Spannungen haben, selbst wenn das Seil leicht ist.

Vielen Dank, das ist genau der "Beweis", den ich suche. Es gibt nur einen Punkt, den ich nicht verstehe (oder irgendwie übersehen habe) - in (4), was die Kraft ausmacht F 1 so besonders, dass es im letzten Ausdruck für die Spannung erscheint (und ungefähr die Spannung für den masselosen Fall ist), aber nicht F 2 ? Obwohl sie willkürlich bezeichnet werden, sind sie im Allgemeinen ungleich. Warum also begünstigt die Gleichung einen von ihnen gegenüber dem anderen?
@AstroK das liegt nur an der Wahl des Bruches: in (4) kann man auch ankommen τ = ( 1 − F ) F N + F 2 und schließen Sie als nächstes τ ≈ F 2 . Dies steht nicht im Widerspruch zur obigen Behauptung, denn wenn Sie das annehmen M ist klein, während A bleibt dann konstant F 1 − F 2 = F N = A M ≈ 0 .
Trotzdem mache ich mir in 1. noch Gedanken über die Anwendung des Newtonschen 2d-Gesetzes F = M A wenn die Masse null ist.
@AstroK Wie Claude sagt, ist es ein Artefakt der Bedeutung von F (was ich nicht explizit gemacht habe, aber von der Seite des Seils gemessen wird, wo F 1 wird angewandt. Ich habe mich gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt, diesen Abschnitt zu klären, aber es ist mir nicht in den Sinn gekommen.

Die Antwort auf diese Frage ist in einem Wort Symmetrie .

Nehmen wir an, die beiden Enden des Seils A und B hätten Koordinaten − D Und D entlang einer x-Achse. Das Seil soll homogen sein, im statischen Gleichgewicht. Es spielt keine Rolle, ob es eine positive Masse hat oder nicht, ob es dehnbar ist oder nicht, starr oder nicht ... Entscheidend ist nur, dass das Problem in Bezug auf den Ursprung vollkommen symmetrisch ist. Daher die Spannungen T A Und T B an den beiden Enden haben gleiche Größe und entgegengesetztes Vorzeichen:

T A = − T B .

Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, die Newtonschen Gesetze einzubeziehen, das Symmetrie-Argument ist ausreichend.

Konsequenter Nachweis gleicher Spannung an beiden Enden
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