Spannung an einem Seil

Ich habe mich gefragt, wie man die Zugkraft entlang eines Seils kontinuierlich beschreiben kann. Wir können ein Seilsegment der Länge betrachten D X und sagen, die Nettospannkraft ist

T Sünde ⁡ θ X + D X − T Sünde ⁡ θ X
aber das beschreibt natürlich die Spannkraft auf ein Segment . Ich sehe manchmal, dass sie sich in Texten auf die Spannkraft an der Position beziehen X als − T ∂ ∂ X ψ ( X , T ) . Wie kommt man von Ersterem zu Letzterem?

  • Ich beziehe mich auf die Spannung entlang der vertikalen Achse
Können Sie zeigen, wo Sie diese letzte Formel gefunden haben?

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Der Beweis kann in jedem elementaren Text über Wellen gefunden werden. Sie können es wie folgt machen: Wir folgen der Notation wie in der Abbildung.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Nettokraft nach oben ist

F X ( T ) = T 2 Sünde ⁡ θ 2 − T 1 Sünde ⁡ θ 2

Wir wollen ausdrücken F X ( T ) bezüglich ψ ( z , T ) und seine Raumableitung ∂ ψ / ∂ z .

Nun machen wir hier eine Annäherung. Bei der Annäherung an kleine Schwingungen vernachlässigen wir die Längenzunahme des Segments und nähern uns auch an cos ⁡ θ von 1 . So haben wir T cos ⁡ θ = T 0

F X ( T ) = T 2 Sünde ⁡ θ 2 − T 1 Sünde ⁡ θ 2
F X ( T ) = T 2 cos ⁡ θ 2 bräunen ⁡ θ 2 − T 1 cos ⁡ θ 2 bräunen ⁡ θ 2 = T 0 bräunen ⁡ θ 2 − T 0 bräunen ⁡ θ 2
F X ( T ) = T 0 ( ∂ ψ ∂ z ) 2 − T 0 ( ∂ ψ ∂ z ) 1
Hier verwenden wir nun die Taylor-Erweiterung und nutzen die Tatsache Δ z ist klein bis ungefähr. Wenn Sie trainieren, erhalten Sie

( ∂ ψ ∂ z ) 2 − ( ∂ ψ ∂ z ) 1 = Δ ∂ 2 ψ ( z , T ) ∂ z 2

So dass

F X ( T ) = T 0 Δ z ∂ 2 ψ ( z , T ) ∂ z 2

Tatsächlich ist der Ausdruck, den Sie gegeben haben, nicht ganz richtig.

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