Warum ist die Spannung auf beiden Seiten einer Atwood-Maschine identisch?

Spannung in einem Seil ist ein anderes Wort für die Kraft, die das Seil ausübt.

Kräfte treten immer in gleichen und entgegengesetzten Paaren auf. Dies gilt für ein Seil. Es gibt zwei Enden. Die Enden ziehen zwei Gegenstände mit gleicher Kraft aufeinander zu.

Anstelle von Massen, die an einer Rolle hängen, nehmen wir an, zwei massive Menschen namens 1 und 2 hätten ein Tauziehen. Angenommen, 1 zieht stärker als 2.

Wenn also 1 stärker am Seil zieht als 2, warum zieht das Seil dann an 1 und 2 gleich stark? Warum zieht sich das Seil nicht mit der gleichen Kraft zurück, wie jede Person zieht?

Das würde passieren, wenn 1 und 2 auf gegenüberliegenden Seiten einer Wand wären und an separaten Seilen gezogen würden, die an der Wand befestigt sind. Die Wand würde sich gerade stark genug zurückziehen, um sie beide ruhig zu halten. Es würde sich genauso stark zurückziehen, wie jeder an dem Seil zog.

Aber in einem Tauziehen bewegen sich sowohl 1 als auch 2, wenn 1 stärker zieht. Sie haben die gleiche Geschwindigkeit und Beschleunigung in der Richtung, in die 1 zieht, und sie bleiben in einem konstanten Abstand voneinander.

Angenommen, 2 würde nicht ziehen. Er stand einfach auf glattem Eis und ließ sich von mir mit Gewalt ziehen$F_1$. Welche Kraft wirkt im Seil? Sie können sehen, dass die Kraft dazwischen liegt$F_1$Und$0$.

Es ist nicht$0$am Ende der 2. Das Seil zieht ihn und lässt ihn beschleunigen.

Es ist nicht$0$am Ende der 1. Er beschleunigt vorwärts, aber das Seil zieht ihn zurück. Ohne das Seil würde er schneller beschleunigen.

Ebenso können Sie sehen, dass dies nicht der Fall ist$F_1$am Ende der 1. Es reicht nicht, 1 still zu halten.

Es ist nicht$F_1$am Ende der 2. 1 beschleunigt eine Gesamtmasse von$m_1 + m_2$. Die Beschleunigung für beide ist$a_1 = a_2 = F_1/(m_1+m_2)$. Das ist kleiner, als wenn 1 stehenbleibt und 2 mit Gewalt zu sich zieht$F_1$. 2 würde mit beschleunigen$a_2 = F_1/m_2$.

Also wie groß ist$T_2$, die Kraft des Seils, die 2 beschleunigt?

Wie groß ist$T_1$, die Kraft des Seils, das 1 zurückhält?

oder

Sie können ähnliche Berechnungen durchführen, wenn sowohl 1 als auch 2 ziehen.

Die Gleichheit der beiden Spannungen gilt nur im Spezialfall eines masselosen Rades in der Riemenscheibe. Wenn Sie in Ihrem Lehrbuch bis zu dem Abschnitt weiterlesen, der sich mit massiven Riemenscheiben befasst, werden Sie feststellen, dass diese Spannungen tatsächlich nicht im Allgemeinen gleich sein sollten und nur in dem speziellen Fall, in dem das Rad masselos ist, dass sie gleich sind.

Letztendlich denke ich, dass Sie zu Recht darüber verwirrt sind ... das Lehrbuch hat Ihnen noch nicht alle Werkzeuge an die Hand gegeben, die Sie benötigen, um die Annahme zu rechtfertigen, dass die Spannungen gleich sind.

(Übrigens, der Abschnitt mit massiven Pullies trägt wahrscheinlich den Titel "Torque" oder so ähnlich. Wenn nicht, suchen Sie im Index auf der Rückseite nach "Torque". Die massiven Pullies werden irgendwo in der Nähe sein, wenn der Text überhaupt Standard ist ).

Wie könnte dieselbe Kraft T beide gleich stark beschleunigen?

Dieser Teil Ihrer Frage enthält den Schlüssel – insbesondere das Wort Beschleunigung .

Beginnen wir zuerst mit Ihrer zweiten Frage: Warum sind die Beschleunigungen gleich? Dies ist ein Ergebnis der Einschränkung, dass die Zeichenfolge eine feste Länge hat. Solange dies gilt, bewegt sich für jeden Meter, den die größere Masse bewegt, die kleinere Masse in der gleichen Zeit einen Meter. Die zurückgelegten Wege sind in derselben Zeit gleich, also sind die Geschwindigkeiten gleich und ebenso die (Beträge der) Beschleunigungen.

Was Ihre Frage voraussetzt, ohne ausdrücklich zu sagen, ist das$T_1=m_1g$Und$T_2=m_2g$. Es gibt keinen Grund, warum dies wahr sein muss, und wenn es wahr wäre, wären die Kräfte auf jede Masse ausgeglichen und sie würden nicht beschleunigen.

Die Spannung wird irgendwo zwischen den Gewichten der beiden Massen liegen, sodass die Nettokraft für die schwerere Masse nach unten und für die leichtere Masse nach oben gerichtet ist.

Zusätzlich zur Annahme eines masselosen Rads, wie Myers in seiner früheren Antwort betont, geht die Analyse, auf die Sie sich beziehen, auch davon aus, dass die Saite masselos und vollkommen starr ist (keine Dehnung / Kompression). Unter dieser Annahme ist die Spannung an beiden Enden der Saite gleich. Genauer gesagt, T1 – T2 = ma, wobei T1 und T2 die Spannungen an jedem Ende der Saite sind, m die Masse der Saite ist und a die Beschleunigung der Saite ist. Wenn sich m Null nähert, nähert sich T2 T1, obwohl die Zeichenfolge beschleunigt wird (a ist nicht Null).

Wenn Sie später die Masse der Rolle berücksichtigen – in diesem Fall sind die Spannungen an den Enden der Saite nicht gleich – werden Sie die implizite Annahme sehen, dass die Spannungen in der$\textit{string}$sind die gleichen wie die Kräfte der Saite auf die$\textit{pulley}$. Dies ist wahr, aber keineswegs offensichtlich, wie im Detail in der folgenden Referenz diskutiert wird. https://www.researchgate.net/publication/318107848_Force_and_torque_of_a_string_on_a_pulley .

Sie können diese Seite nach detaillierten Diskussionen des Falls unter Berücksichtigung der Masse der Riemenscheibe durchsuchen; suchen Sie zB nach "Atwood-Reibung".

Da das Pully-System die Richtung jeder Kraft umkehrt, wäre das Folgende nicht wahr?

T1=Fg2=m2g

T2=Fg1=m1g

Technisch hast du recht. Aber ein paar Änderungen müssen an Ihrer Aussage vorgenommen werden.

Die Blöcke sind nicht in Ruhe und bewegen sich beide mit Beschleunigung$a$. Davon können wir ausgehen$M_1$geht auf und$M_2$sinkt. Seit$M_1$steigt, es ist Gewichtszunahme ($W_{M_1}=M_1(g+a)$). Während$M_2$sinkt, nimmt sein Gewicht ab ($W_{M_2}=M_2(g-a)$)

$\therefore T_1=W_{M_2}=M_2(g-a)$Und$T_2=W_{M_1}=M_1(g+a)$(modifizierte Version Ihrer zitierten Gleichungen).

Jetzt,$T_1$unterstützt$W_{M_{1}}$,

$\therefore T_1=W_{M_{1}}=M_1(g+a)=T_2$

Das liegt daran, dass die Riemenscheibe in einer Atwood-Maschine eine ideale Riemenscheibe ist. Es hat keine Masse und ist reibungsfrei . Dies bedeutet, dass das Seil nur frei über die Rolle gleiten wird, ohne es überhaupt zu drehen. In diesem Fall ist das Seil vollständig von der Rolle isoliert und die Spannung sollte überall gleichmäßig sein.
Beachten Sie, dass reibungslos bedeutet, dass keine Reibung zwischen Seil und Rolle besteht

Wäre es eine rollende Rolle (eine mit Reibung am Rand, damit das Seil nicht rutscht), wäre die Spannung an beiden Enden aufgrund der Reibung unterschiedlich. und es wäre dieser Unterschied, der ihm helfen würde, sich zu drehen.

Überall in der Mechanik impliziert eine reibungsfreie Riemenscheibe, dass es sich um eine "rutschende" Riemenscheibe handelt und nicht um eine rollende Riemenscheibe (wie wir in unserem täglichen Leben sehen). Diese reibungsfreien Umlenkrollen werden nur gehalten, um die Zugrichtung zu ändern, wobei die Spannung in der Saite gleich bleibt.