Sind mechanische Energie eines Seilelements und Energiedichte bei mechanischen Wellen konstant?

Die Energie eines Elements einer Wanderwelle ist nicht konstant. Halliday-Resnick-Krane hat Recht. Für eine Schnur der Dichte$\mu$und Spannung$T$die kinetische Energie eines Elements$dx$ist

$$dK=\frac 12\mu dx\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2.$$ Für die potentielle Energie, die wir haben $$dU=Tdl,$$ wo $dl$ist der gestreckte Betrag der Saite. Ein kleiner Abschnitt $dh$der Saite ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Basis $dx$und Höhe $\frac{\partial \xi}{\partial x}dx$. Daher ist der gestreckte Betrag $$dl=\sqrt{dx^2+\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx^2}-dx=\frac{dx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ In der letzten Gleichung vernachlässigen wir Terme höherer Ordnung in $\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)$da wir kleine Verschiebungen annehmen. Dann $$dU=\frac{Tdx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ Deswegen $$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx.$$

Für eine progressive harmonische Welle$\xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$wir bekommen

$$dE=\frac 12\mu\omega^2 A^2\sin^2(kx-\omega t)dx+\frac{1}{2}Tk^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx.$$ Verwenden $v^2=T/\mu$und $\omega=vk$wir bekommen $$dE=\mu\omega^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx,$$ was nicht konstant ist.

Denken Sie daran, dass Energie von der Welle entlang des Seils übertragen wird. Die Energiequelle ist der harmonische Oszillator, der die Welle an einem Ende der Saite erzeugt. Es ist also kein Problem, dass die Energie an jedem Punkt nicht konstant ist. Ein weiterer wichtiger Punkt: Der Grund dafür, dass das Ergebnis ganz anders ist als das, was wir erwarten, wenn wir an eine einfache harmonische Bewegung denken (die dem Teilchen konstante Energie gibt), liegt darin, dass sich das Element des Seils nicht nur quer bewegt. Eine Welle in einem Seil hat immer eine Längskomponente. Dies war implizit, als wir die potentielle Energie berechneten und annahmen, dass der gestreckte Betrag der war$dl=dh-dx$. Beachten Sie, dass wenn das Element$dx$Verschiebung hat$A$, ist es in Ruhe und hat verschwindende kinetische Energie. Außerdem wird dieses Element nicht gedehnt,$\frac{\partial \xi}{\partial x}=0$, was eine verschwindende elastische potentielle Energie ergibt. Dies stimmt mit der für erhaltenen Gleichung überein$dE$.

Die zweite Herleitung ist korrekt, wie Diracology erklärt.

Die erste Ableitung ist jedoch "irgendwie" richtig, in dem Sinne, dass der Ort der potentiellen Energie mehrdeutig sein kann. Betrachten Sie zum Beispiel die drei folgenden Systeme.

• Eine Masse an einer gespannten Feder.
• Eine Masse, die auf einem Tisch sitzt.
• Eine geladene Masse neben einer anderen Ladung.

Diese drei Systeme haben elastische potentielle Energie, potentielle Gravitationsenergie und elektrische potentielle Energie. Aber in einer Physik-Einführungsstunde bekommst du drei verschiedene Antworten, wenn du fragst, „wo“ die Energie ist. Im ersten Fall ist es der Frühling; im zweiten ist es „das System Erde und Masse“; im dritten ist es "im elektrischen Feld zwischen ihnen".

In allen drei Fällen macht es keinen Unterschied, wo wir sagen, dass die potentielle Energie gespeichert ist, solange wir keine GR machen, weil sie nur auf eine Weise extrahiert werden kann: durch Bewegen der Masse. Man könnte sagen, die potentielle Energie wird hinter Jupiter gespeichert, wenn Sie wollen.

Aus diesem Grund sehen Sie verschiedene Konventionen dafür, „wo“ die Energie in einem Seil gespeichert wird. Allerdings gibt es in diesem Fall eine eindeutig richtige Antwort, denn ein Seil hat im Gegensatz zu einer Masse viele Freiheitsgrade. Sie können die potentielle Energie im Seil extrahieren, indem Sie einen beliebigen Abschnitt davon nehmen und ihn dehnen, was bedeutet, dass die potentielle Energie$dU$aus einem kleinen Stück Seil$dx$ist wohldefiniert.

Schlimmer noch, für nicht sinusförmige Wellen gibt die erste Definition die falsche Antwort. Stellen Sie sich eine Welle vor$y(x)$das hat$y = 1$zum$0 < x < L$und$y = 0$anderswo. Nach der korrekten Definition gibt es nur potentielle Energie bei$x = 0$und$x = L$. Durch die falsche Definition ist die gesamte potentielle Energie proportional zu$L$, was falsch ist.

Ein noch schlimmeres Beispiel: wenn ich das Seil einfach festhalte$y = 1$für immer, die falsche Definition besagt, dass die Menge an potenzieller Energie unendlich ist! Die richtige Antwort ist Null.

Hier gibt es bereits gute Antworten, aber ich fürchte, dass nach meinem besten Wissen der Ausdruck der potentiellen Energie von Diracology (und tatsächlich von Halliday-Resnik-Krane) nicht korrekt ist . Ich möchte auf dieses Papier von Lior M. Burko hinweisen, das sich auf die Feinheiten der Ableitung der kinetischen und potentiellen Energie der Saite als Ganzes und kleiner Massenelemente davon konzentriert. Aus der Zusammenfassung:

Wir betrachten die Energiedichte und den Energietransfer in eindimensionalen Wellen kleiner Amplitude an einer Saite und stellen fest, dass die in Lehrbüchern für den Einführungskurs Physik mit Analysis verwendeten gebräuchlichen Ausdrücke in einigen Fällen, einschließlich stehender Wellen, falsche Ergebnisse liefern. Wir diskutieren den Ursprung des Problems und wie es auf eine Weise korrigiert werden kann, die für den Einführungskurs in Analysis auf der Grundlage von Physik geeignet ist.

Um das Ergebnis aus dieser Arbeit zu extrahieren, statt

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx$$

es sollte lesen

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2} \xi \left(\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right)dx$$

Dem Papier zufolge liefern die beiden Ausdrücke das gleiche Ergebnis für den globalen Energieinhalt der Saite, aber die Energiedichten sind nicht gleich. In Abschnitt IV wird gezeigt, wie dies einige der Probleme mit einem Element behebt, das keine konstante Energie hat, insbesondere bei stehenden Wellen.