Warum ist die Energie in einer Welle proportional zum Quadrat der Amplitude?

Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass die Energie einer Welle immer proportional zum Quadrat ihrer Amplitude ist, aber es gibt gute Gründe zu der Annahme, dass dies in den meisten Fällen an der Grenze kleiner Amplituden der Fall ist. Dies folgt einfach aus der Erweiterung der Energie in einer Taylor-Reihe,$E=a_0+a_1 A+a_2 A^2+\ldots$Wir können die nehmen$a_0$Term auf Null, da er nur eine potentielle Energie darstellen würde, die bereits im Medium vorhanden ist, wenn keine Wellenanregung vorhanden ist. Das$a_1$Term verschwinden muss, weil er sonst die Summe für hinreichend kleine Werte von dominieren würde$A$, und Sie könnten dann Wellen mit negativer Energie für ein entsprechend gewähltes Zeichen von haben$A$. Das bedeutet, dass der erste nicht verschwindende Term sein sollte$A^2$. Da wir nicht erwarten, dass die Energie der Welle von der Phase abhängt, erwarten wir, dass nur die geraden Terme auftreten sollten,$E=a_2A^2+a_4A^4+\ldots$Wir erwarten also nur im Grenzbereich kleiner Amplituden$E\propto A^2$.

Das andere zu berücksichtigende Problem ist, dass wir davon ausgehen mussten$E$war eine ausreichend glatte Funktion von$A$um es mit einer Taylor-Reihe berechnen zu können. Das muss nicht pauschal stimmen. Betrachten Sie als einfaches Beispiel für ein oszillierendes Teilchen anstelle einer Welle ein punktförmiges Teilchen in einem Gravitationsfeld, das auf einem unflexiblen Boden elastisch auf und ab springt. Wenn wir die Amplitude als Höhe des Rückpralls definieren, dann haben wir$E \propto |A|$. Aber ein realistischer Ball verformt sich, also besteht die kleine Amplitudengrenze darin, dass der Ball vibriert, während er in Kontakt mit dem Boden bleibt, und wir gewinnen wieder$E\propto A^2$.

Sie könnten sich auch Beispiele ausdenken, wo$a_2$verschwindet und der erste nicht verschwindende Koeffizient ist$a_4$.

Es ist nur eine Sinuswelle. Wenn die Frequenz konstant ist, dann ist die Geschwindigkeit beim Nulldurchgang proportional zur Amplitude und die Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Hinzugefügt, Antwort auf Kommentar:

Sie benötigen ein einfacheres Modell, z. B. eine 1-dimensionale Masse an einer Feder (oder ein Pendel mit kleinem Winkel). Seine Position x ist eine Sinuswelle einer bestimmten Frequenz (Sie können rechnen, um die Frequenz zu erhalten). Sein Maximum x in einer Richtung ist seine Amplitude a . Seine Geschwindigkeit v ist dx/dt , was zu x um 90 Grad phasenverschoben ist . In der Mitte seiner Schwingung ist x = 0 und v = max. Wenn Sie dann a verdoppeln , muss es natürlich doppelt so weit in der gleichen Zeit schwingen, also wird v verdoppelt. Ich bin sicher, das hast du verstanden.

Jetzt ist Ihre Frage, warum ist Energie$E$gleich$mv^2/2$, dh proportional zu$v^2$? Nun, das ist eine grundlegende Gleichung, aber lassen Sie mich sehen, ob ich sie trotzdem beantworten kann.

Wenn Sie ein Gewicht w aus einer Höhe h fallen lassen, hat es eine anfängliche potentielle Energie wh , die in kinetische Energie umgewandelt wird, wenn es den Boden mit der Geschwindigkeit v erreicht . Wenn es unter die konstante Schwerkraft fällt, ist die Strecke, die es in einer bestimmten Zeit fällt , t$gt^2/2$(Zeitintegral der Geschwindigkeit) und die Geschwindigkeit nach dieser Zeit ist$v = gt$. Wenn Sie also die Geschwindigkeit am Boden verdoppeln wollen, müssen Sie verdoppeln$t$, Rechts? Und wenn Sie sich verdoppeln$t$, du wirst die Höhe vervierfachen. Das vervierfacht die Energie. Ich hoffe, das beantwortet die Frage.

Habe gerade an eine andere Erklärung gedacht. Wenn Sie eine Feder haben, deren Kraft$f$ist$kx$wo$x$ist die Verschiebung des Endes der Feder, und$k$ist seine Steifheit. Da Energie (Arbeit) das Integral von ist$fdx$, die Energie$E$im Frühjahr gespeichert, in Abhängigkeit von$x$ist$kx^2/2$. Da ist also Ihre Energie-Amplituden-Beziehung.

Sie haben Recht, die Gleichung ist auf höhere Dimensionen verallgemeinerbar. Die von Ihnen angegebene Gleichung ist einfach die Summe der verschiedenen Energieformen. In der Gleichung

Der erste Term auf der rechten Seite ist die kinetische Energie und der zweite Term ist die elastische potentielle Energie. Wie Mike sagte, die kinetische Energie ist gerecht$p^2 / 2m$. Die elastische potentielle Energie an jeder Stelle auf der Saite ergibt sich aus der Addition der gesamten Kraft, die erforderlich war, um dieses Stück dorthin zu bringen (gegeben durch das Hookesche Gesetz ); das ist

Die Gesamtenergie ist dann einfach die Summe der kinetischen und potentiellen Energie mit entsprechender Modifikation unter Verwendung der Massendichte mal einer infinitesimalen Länge als Masse.

Wenn Sie sich in höhere Dimensionen bewegen, müssen Sie dies in den kinetischen und potentiellen Energien berücksichtigen. Die kinetische Energie eines Teils der Oberfläche ist das Quadrat des Impulses dieses Teils ($mv$) dividiert durch die Masse dieses Anteils. Die potentielle Energie ist die Federkonstante der Membran geteilt durch 2, multipliziert mit dem Quadrat der Verschiebung von Null.

Die Energiemenge einer Welle hängt von ihrer Amplitude ab. Erdbeben mit großer Amplitude erzeugen große Bodenverschiebungen. Laute Geräusche haben höhere Druckamplituden und stammen von Quellenvibrationen mit größerer Amplitude als leise Geräusche. Große Ozeanbrecher wühlen die Küste mehr auf als kleine. Quantitativ ist eine Welle eine Verschiebung, der eine Rückstellkraft entgegenwirkt. Je größer die Verschiebung$x$, desto größer die Kraft$F = kx$benötigt, um es zu erstellen. Weil Arbeit$W$bezieht sich auf die Kraft multipliziert mit dem Abstand ($Fx$) und Energie wird durch die Arbeit, die zu ihrer Erzeugung geleistet wird, in die Welle eingebracht, die Energie in einer Welle hängt mit der Amplitude zusammen. Tatsächlich ist die Energie einer Welle direkt proportional zu ihrer Amplitude im Quadrat, weil$W\propto Fx = kx^2$.

Ich fand diesen Auszug sehr hilfreich.