Lösen einer Wellengleichung (Partielle Differentialgleichungen) [geschlossen]

Eine Schnur, die zwischen den Punkten gespannt ist 0 Und π auf der X Achse und zunächst so gewählt, dass im Ruhezustand aus der Position entlassen wird j = F ( X ) . Seiner Bewegung wirkt ein Luftwiderstand entgegen, der proportional zur Geschwindigkeit an jedem Punkt ist. Die Zeiteinheit sei so gewählt, dass die Bewegungsgleichung wird

j T T ( X , T ) = j X X ( X , T ) − 2 β j T ( X , T )

( 0 < X < π ,   T > 0 )
Wo β ist eine positive Konstante, wenn man davon ausgeht 0 < β < 1 leiten Sie den folgenden Ausdruck in Form von ab

j ( X , T ) = e − β T ∑ N = 1 ∞ B N ( cos ⁡ a N T + β a N Sünde ⁡ A N T ) Sünde ⁡ ( N X )

Was ich versucht habe:

Zuerst sind meine Randbedingungen

j ( 0 , T ) = 0 j ( π , T ) = 0 j ( X , 0 ) = F ( X ) j T ( X , 0 ) = G ( X )

Bevor ich das Problem löse, möchte ich zuerst überprüfen, ob meine Randbedingungen korrekt sind. Ich habe auch versucht, die Methode der Variablentrennung für dieses Problem zu verwenden, aber es scheint nicht zu funktionieren, also sollte ich stattdessen die de-Alembert-Lösung verwenden? Und wie verwende ich es für dieses Problem?

Die Anfangsbedingungen sehen richtig aus, außer der letzten, hast du vergessen zu erwähnen G ( X ) ? Auch scheint es, als ob die Trennung von Variablen funktionieren sollte. Wenn Sie versuchen, den Ansatz zu ersetzen j ( X , T ) = X ( X ) T ( T ) und dividiere dann die Gleichung durch X ( X ) T ( T ) Die Gleichung kann getrennt werden.
Sie können diesem Handbuch math.ubc.ca/~feldman/m267/separation.pdf folgen , außer dass die Gleichung für T(t) etwas anders ist.

Antworten (1)

Die Technik der Variablentrennung funktioniert einwandfrei. Was ist das Problem, das Sie damit haben? Ihre Rand-/Anfangsbedingungen stimmen bis auf die letzte: Sie haben erwähnt, dass die Saite am Anfang in Ruhe ist, also G ( X ) = 0. Die Gleichung wird leicht durch die Methode der Variablentrennung gelöst. Das geht so: Du findest zunächst eine allgemeine Lösung der Gleichung (unter Vernachlässigung der Anfangsbedingung) mit deinen Randbedingungen der Form j ( X , T ) = X ( X ) T ( T ) . Sie werden feststellen, dass es unendlich viele mögliche Lösungen dieser Art gibt, j 1 ( X , T ) = X 1 ( X ) T 1 ( T ) , j 2 ( X , T ) = X 2 ( X ) T 2 ( T ) , … , j N ( X , T ) = X N ( X ) T N ( T ) , … Da Ihre Gleichung linear ist und somit jede lineare Überlagerung von Lösungen immer noch eine Lösung ist, schreiben Sie einen Ansatz zur Lösung des Problems mit Anfangsbedingungen wie folgt:

j ( X , T ) = ∑ N = 1 ∞ A N X N ( X ) T N ( T ) ,
Wo A N sind einige Koeffizienten, die Sie anpassen müssen, damit j ( X , 0 ) = F ( X ) Und ∂ j ( X , T ) ∂ T | T = 0 = 0.

Für das, was folgen wird, werde ich nur schreiben X Und T anstatt X ( X ) Und T ( T ) und es wird impliziert, dass die Derivate X ' Und T ' beziehen sich natürlich auf Variablen X Und T bzw. In Ihrem konkreten Problem ist die Gleichung j T T = j X X − 2 B j T , und Einführen des Ansatzes j = X T wir bekommen:

X T ″ = T X ″ − 2 B X T '
indem wir dies ein wenig umordnen, haben wir:
T ″ + 2 B T ' T = X ″ X
Und hier kommt die entscheidende Idee der Technik der Variablentrennung. Da die linke Seite nur abhängen T und die rechte Seite hängt nur von ab X , wir schließen daraus, dass beide Ausdrücke gleich einer bestimmten Konstante sein müssen K . Daher haben wir unser Problem der partiellen Differentialgleichungen auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert:
T ″ + 2 B T ' − K T = 0
X ″ − K X

Unter Berücksichtigung Ihrer Randbedingungen ist das schon leicht zu erkennen X muss eine Sinusfunktion mit Argument sein N X , für N eine ganze Zahl. Das ist, K = − N 2 . Sie können diese Informationen in die erste Gleichung für einsetzen T und löse es.

Ich werde diesen Schritt auslassen, da ich glaube, dass es von hier aus ziemlich einfach ist, aber bitte fragen Sie, wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten damit haben! Es ist besonders einfach, da sie Ihnen bereits die Form der Lösungen mitteilen!

Als nächstes kombinieren Sie die Lösungen einfach linear mit einigen Koeffizienten. Was Sie jetzt tun möchten, ist, die Koeffizienten zu finden B N die machen das ∑ B N Sünde ⁡ ( N X ) = F ( X ) . Die Antwort ist, dass dies Fourier-Koeffizienten sind. Ich weiß nicht, ob Sie davon wissen, aber selbst wenn Sie es nicht wissen, ist das Rezept ziemlich einfach zu befolgen, und Sie können die Schlüsselformeln in Wikipedia nachschlagen

Wenn ich müde bin, die Gleichung zu lösen T ″ + 2 B T ' + N 2 T = 0 Ich habe eine Exponentialform für die allgemeine Lösung erhalten und nicht die durch die Frage angegebene Form.
Lösen einer Wellengleichung (Partielle Differentialgleichungen) [geschlossen]
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