Ableitung der Gleichung für die Querverschiebung einer Saite [geschlossen]

Eine halb-unendliche Saite, deren eines Ende am Ursprung fixiert ist, wird entlang der positiven Hälfte der gespannt$x$Achse und in Ruhe aus einer Position gelöst$y=f(x)$ $(x\geq 0)$. Leiten Sie den Ausdruck ab

$$y(x,t)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \cos\alpha(at) \sin\alpha(x)\int_{0}^{\infty} f(s)\sin\alpha(s) \,\mathrm ds\,\mathrm da$$

für die Querverschiebung. Lassen$F(x)(-\infty<x<\infty)$bezeichnen die ungerade Erweiterung von$f(x)$und zeigen Sie, wie sich dieses Ergebnis auf reduziert

$$y(x,t)=\frac{1}{2}[F(x+at)+F(x-at)]$$

Was ich versucht habe:

Der Ausdruck

$$y(x,t)=\frac{1}{2}[F(x+at)+F(x-at)$$

die ich sofort als de-Alembert-Lösung der Wellengleichung kenne

Meine Randbedingungen sind

$$u_{t}(x,t)=ku_{xx}(x,t)$$

$$u(t,0)=0$$

$$u(x,0)=f(x)$$ Stimmen meine Randbedingungen?

Dann habe ich die Trennung von Variablen verwendet

$$X''(x)+\lambda X(x)=0$$

$$X(0)=0$$

Und

$$T'(t)+\lambda kT(t)=0$$

Die Eigenwerte sind

$$\lambda=\alpha^2$$

Eigenvektoren sind

$$T(t)=\exp(-\alpha^2 kt)$$

$$u(x,t)=\int_{0}^\infty \beta(\alpha)\exp(-\alpha^2 kt)\sin(\alpha (ax)~\mathrm da$$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich von hier aus weitermachen soll. Kann mir jemand jeden Schritt des Problems erklären?