Wie können Transversalwellen auf einer Saite Längsimpuls übertragen?

Eine gefälschte Ableitung

Wir können ziemlich einfach eine horizontale Geschwindigkeit für die Saite berechnen , z. B. nehmen wir an, dass der Gesamtgeschwindigkeitsvektor überall senkrecht zur Saite steht (diese Annahme ist nicht immer gültig, siehe unten). Das folgende Bild veranschaulicht dann die Berechnung:

Nehmen Sie zwei infinitesimal getrennte Punkte$x$und$x+\mathrm{d}x$und lass die Wellenbewegung sein$\varphi(x,t)$. Die Vertikal-/Quergeschwindigkeit ist$v_\text{vert} = \partial_t \varphi(x,t)$, und die horizontale Komponente ist$v_\text{hor} = -v_\text{vert}\tan(\vartheta)$, wo$\vartheta$ist der Winkel zwischen der Normalen und der Vertikalen, und das Minuszeichen ist, weil wenn wir messen$\vartheta$im üblichen Gegenuhrzeigersinn zeigt dann die Horizontalgeschwindigkeit an$-x$für klein$\vartheta$. Jetzt$\tan(\vartheta)$ist$\frac{\varphi(x+\mathrm{d}x) - \varphi(x)}{\mathrm{d}x} = \partial_x\varphi(x)$, also bekommen wir

$$v_\text{hor} = -\partial_t\varphi\partial_x\varphi$$ und wenn Sie die sinusförmige Lösung einstecken und den Zeitmittelwert nehmen, erhalten Sie genau das gleiche Ergebnis wie für Longitudinalwellen. Sie könnten jedoch protextieren - die Transversalwellengleichung wurde unter der Annahme keiner Längsbewegung abgeleitet, und diese Berechnung geht einfach offensichtlich von etwas anderem aus.

Eine Lagrange-Ableitung

Seltsamerweise ist das Ergebnis der obigen Berechnung der richtige Impuls für eine reine Transversalwelle. Der Lagrangian einer Transversalwelle ist

$$L = \frac{1}{2}\rho (\partial_t\varphi)^2 - \frac{1}{2}\tau(\partial_x\varphi)^2$$ und die Translationsinvarianz gibt uns eine Impulsdichte $$T_{xt} = \partial_x L \partial_t \varphi = - \rho\partial_x\varphi\partial_t\varphi$$ was durch den Satz von Noether erhalten bleibt.

Die eigentliche Antwort

In Wirklichkeit gibt es auf einer Saite keine rein transversalen Wellen, es werden immer sekundäre Longitudinalwellen erzeugt, wenn versucht wird, sie rein transversal anzuregen. Der "wahre" Impuls einer realistischen "Querwelle" ist eher die Hälfte der theoretischen Vorhersage, dh$\frac{1}{2}\rho\partial_t\varphi\partial_x\varphi$, für mehr dazu siehe "Das Rätsel um das fehlende Wellenmomentum" [pdf-Link] von Rowland und Pask.

Du hast absolut Recht mit allem, was du gesagt hast. Der Impuls ist nur dann ungleich Null, wenn die Welle einen Longitudinalmodus hat, was tatsächlich der realistische Fall ist. Außerdem ist die Wellengleichung in diesem Fall nicht so einfach. Lassen Sie mich versuchen, dies zu zeigen.

Längsmodus

Nehmen wir an, dass die Saite, wenn sie im Gleichgewicht ist, eine Dichte hat$\mu$, ist zusammen mit der$x\equiv x_1$Achse und hat Spannung$T_0$. Die allgemeine Verschiebung der Saite ist

$$\vec \xi(x_1,t)=\xi_1(x_1,t)\vec e_1+\xi_2(x_1,t)\vec e_2\equiv\xi_i(x_1,t)\vec e_i.$$ Ein kleiner Abschnitt $ds$der Saite wirkt eine Kraft $$d\vec T=\frac{\partial\vec T}{dx_1}dx_1=\mu dx_1\frac{\partial^2\vec\xi}{dt^2},$$ nach Newtons zweitem Gesetz. Die Größenordnung von $\vec T$ist $T_0$plus ein Inkrement proportional zum gestreckten Betrag $$\frac{ds-dx_1}{dx_1}=\frac{ds}{dx_1}-1.$$ Wenn die Saite Querschnittsfläche hat $A$und Young-Modul $Y$, die Erhöhung der Spannung ist $$AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right).$$ Somit $$\vec T=\left[T_0+AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right)\right]\frac{d\vec s}{ds}$$ wo $d\vec s$entlang geleitet wird $ds$. Wir haben $$d\vec s=(d\xi_1+dx_1)\vec e_1+d\xi_2\vec e_2,$$ $$ds=\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\right)^2}dx_1$$ Wie Sie sehen können, wenn wir einstecken $\vec T$Zurück in die Bewegungsgleichung erhalten wir drei nichtlineare und gekoppelte partielle Differentialgleichungen (obwohl nicht wahr?). Nehmen wir zur Vereinfachung kleine Verschiebungen an, d.h $$\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\approx\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\ll 1.$$ Das Ziel ist nun, zu expandieren $\vec T$bis zur ersten Bestellung $\frac{d\xi_i}{dx_1}$. Beachte das erstmal $$\frac{ds}{dx_1}-1=\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}+O((\partial\xi_1/\partial x_1)^2).$$ Dann $$\begin{align} \vec T&\approx\frac{\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right)}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_2}\right)^2}},\\ &\approx\left(1-\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right),\\ &\approx\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\vec e_1+T_0\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\vec e_2. \end{align}$$ Wenn wir dies wieder in die Bewegungsgleichung einsetzen, erhalten wir zwei Wellengleichungen, $$\frac{\partial^2\xi_i}{\partial t^2}=c_i^2\frac{\partial^2\xi_i}{\partial x_1^2},$$ deren Geschwindigkeiten sind $$c_1=\sqrt{AY/\mu},\quad c_2=\sqrt{T_0/\mu}.$$ Beachten Sie, dass bei Vernachlässigung des Young-Koeffizienten (elastischer Koeffizient) der Längsmodus verschwindet. Beachten Sie auch, dass die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle im Allgemeinen größer ist als die Geschwindigkeit der Transversalwelle, da typische Werte des Young-Moduls im Allgemeinen groß sind. $Y\sim 10^{9}\, Pa$. Für eine Reihe von Flächen $A\sim 10^{-4}\, m^2$wir bekommen $$\frac{c_1}{c_2}\sim\sqrt{\frac{10^5}{T_0}}.$$

Längsimpuls

In diesem Beitrag wird die potentielle Energiedichte einer Saite berechnet ( erinnere dich$\xi_2$ist die Querverschiebung),

$$U=\frac{T_0dx}{2}\left(\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\right)^2.$$ Dann ist die „ Kraftdichte “ in Längsrichtung $$f_1=-\frac{\partial U}{\partial x_1}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}.$$ Lassen Sie uns anrufen $p_1$die "Impulsdichte " in Längsrichtung. Dann $$\frac{dp_1}{dt}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2\xi_2}{\partial t^2},$$ wobei wir die Wellengleichung verwendet haben. Teilweise (zeitlich) integrierend erhalten wir schließlich die Impulsdichte $$p_1=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial\xi_2}{\partial t}.$$

I) Es gibt bereits mehrere gute Antworten. OP fragt nach dem Impuls der nichtrelativistischen Saite mit nur Querverschiebungen, deren Lagrange-Dichte normalerweise als angegeben wird

$${\cal L}_T ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\eta}^2 - \frac{\tau}{2} \eta^{\prime 2} \tag{1}$$

in Lehrbüchern.

II) Fixieren wir die Notation:$\rho$ist die 1D-Massendichte;$\tau$ist die Saitenspannung;$Y$der 1D-Young-Modul ist; Punkt bezeichnet eine Ableitung bzgl.$x^0\equiv t$; prime bezeichnet eine Ableitung bzgl.$x^1\equiv x$;$\xi$ist die Längsverschiebung in der$x$-Richtung; und$\eta$ist die Querverschiebung in der$y$-Richtung.

III) Beachten Sie zunächst, dass der kanonische Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor $T^{\mu}{}_{\nu}$(welche die Impulsdichte enthält$T^0{}_1$) ist ein Rückzug auf das Weltblatt (WS), das wir mit dem identifizieren$(x,t)$-Flugzeug. Daher wird die Impulsrichtung oft mit der Longitudinalrichtung identifiziert$x$-Richtung, auch wenn die Vibrationen des physikalischen Zielraums (TS) in der Querrichtung sind$y$-Richtung.

Zweitens ist dies bereits für das (konzeptionell einfachere) Longitudinalwellenmodell zu beachten

$${\cal L}_L ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\xi}^2 - \frac{Y}{2} \xi^{\prime 2}, \tag{2}$$

(minus) die kanonische Impulsdichte

$$T^0{}_1~=~\rho\dot{\xi}\xi^{\prime} \tag{3}$$

unterscheidet sich von der kinetischen Impulsdichte$\rho\dot{\xi}$. Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass das Modell (2) konstruiert ist, um Wellenanregungen der Saite zu beschreiben, nicht deren Gesamttranslationen. Die Botschaft zum Mitnehmen ist, dass es nicht unbedingt nützlich ist, zu versuchen, den kanonischen Impuls und den kinetischen Impuls gleich zu machen. (Und insbesondere Lit. 1 leistet dies nicht. Außerdem diskutiert Lit. 1 nur chirale Anregungen, also einen Links- oder Rechtsbeweger, aber keine Superposition davon, was für eine nichtlineare Theorie unvollständig ist. )

Es genügt zu sagen, dass die verschiedenen Impulse separat behandelt und verstanden werden können und dass mit beiden Arten von Impulsen Erhaltungssätze verbunden sind. Die kinetische Impulserhaltung folgt aus den Newtonschen Gesetzen, während die kanonische Impulserhaltung eine Folge der Translationssymmetrie ist, vgl. Satz von Noether . In dieser Antwort konzentrieren wir uns darauf, ein realistischeres physikalisches Modell der Transversalwelle zu erhalten als die Lagrange-Dichte (1).

IV) Unser Ausgangspunkt ist die einfache Beobachtung, dass für eine nicht dehnbare Saite$Y \gg \tau$, eine kleine Querverschiebung

$$\eta~=~{\cal O}(\varepsilon),\tag{4}$$

wo$\varepsilon \ll 1$, muss mit einer Längsverschiebung einhergehen

$$\xi~=~{\cal O}(\varepsilon^2),\tag{5}$$

vgl. Abb. 1 unten.

$\uparrow$Abb. 1. Eine infinitesimale transversale Sägezahnverschiebung$\varepsilon\ll 1$einer nicht dehnbaren Saite muss mit einer Längsverschiebung einhergehen$\frac{\varepsilon^2}{2}$.

V) Wir schließen daraus, dass ein realistisches Modell für Queranregungen vorliegt$\eta$müssen die Möglichkeit von Längsverschiebungen beinhalten$\xi$auch. Betrachten wir deshalb die Lagrange-Dichte

$$\begin{align} {\cal L}~:=~&{\cal T}-{\cal V}, \cr {\cal T}~:=~&\frac{\rho}{2}\left(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2\right),\end{align}\tag{6}$$

wo die Potentialdichte${\cal V}$sollte durch das Hookesche Gesetz gegeben sein . Lassen

$$\begin{align} s^{\prime} ~=~& \sqrt{(1+\xi^{\prime})^2 +\eta^{\prime 2} }\cr ~=~&1+\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\xi^{\prime}\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\eta^{\prime 4}}{8} +{\cal O}(\varepsilon^5)\end{align} \tag{7}$$

sei die Ableitung der Bogenlänge$s$wrt. der$x$-Koordinate. Modulo mögliche Gesamtableitungsterme, die Potentialdichte${\cal V}$muss die Form haben

$$\begin{align}{\cal V}~=~&\frac{k}{2} \left( s^{\prime}-a\right)^2 \cr ~=~& \frac{k}{2} (s^{\prime }-1)^2 + k(1-a) (s^{\prime}-1) \cr &+ \frac{k}{2} (1-a)^2 \end{align}\tag{8}$$

für geeignete Materialkonstanten$k$und$a$, vgl. Ref. 1. Wie unten ersichtlich wird, sollten wir die beiden Konstanten identifizieren$k$und$a$als

$$k ~=~Y+\tau \quad\text{and}\quad \tau~=~ k(1-a). \tag{9}$$

Daher wird die Potentialdichte (8).

$$\begin{align}{\cal V}~\stackrel{(8)+(9)}{=}&~ \frac{Y+\tau}{2} (s^{\prime }-1)^2 +\tau (s^{\prime}-1) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \tau\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} +\frac{\xi^{\prime 2}}{2} \right) \cr &+ \frac{Y}{2}\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} \right)^2 +{\cal O}(\varepsilon^5) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)}.\end{align}\tag{10}$$

Behält man nur Terme in quartischer Ordnung bei und verwirft alle abgeleiteten Terme und konstanten Terme, ergibt sich die Potentialdichte

$${\cal V}_4~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) +\frac{Y}{2}\chi^2 ,\tag{11}$$

wobei wir die Kurzschreibweise definiert haben

$$\chi~:=~\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} .\tag{12}$$

Das quartische Potential (11) ist überraschend einfach. Für eine nicht dehnbare Saite$Y\gg\tau$, erkennen wir in Gl. (11) die Einschränkung

$$\chi~\approx~0 ,\tag{13}$$

das ist das Herzstück von Abb. 1. Die Nebenbedingung (13) impliziert, dass eine transversale Anregung (4) in der ersten Ordnung in$\varepsilon$eine Längsanregung (5) zweiter Ordnung induziert$\varepsilon$. Wie wir weiter unten sehen werden, hat sogar eine dehnbare Saite eine Affinität für die Beschränkung (13).

VI) Nebenbei können wir das quartische Potential (11) in ein kubisches Potential umschreiben

$${\cal V}_3~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) -\frac{B^2}{2Y} + B\chi, \tag{14}$$

wo$B$ist ein Hilfsfeld. Die Euler-Lagrange (EL)-Gleichung für$B$ist

$$B ~\approx~Y\chi.\tag{15}$$

Die EL-Gleichungen für$\xi$und$\eta$lesen

$$\begin{align} \rho \ddot{\xi}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\xi^{\prime\prime} + B^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ (\tau+Y)\xi^{\prime\prime} + Y \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{16}$$ $$\begin{align} \rho \ddot{\eta}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\eta^{\prime\prime} +\left(B\eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ \tau\eta^{\prime\prime}+\frac{3Y}{2}\eta^{\prime 2}\eta^{\prime\prime} + Y(\xi^{\prime}\eta^{\prime})^{\prime},\end{align}\tag{17}$$

bzw.

VII) Integrieren wir das heraus$B$-Feld im kubischen Potential (14),

$${\cal V}_3\quad\stackrel{B}{\longrightarrow}\quad{\cal V}_4,\tag{18}$$

wir erhalten das quartische Potential zurück (11). Die EL-Gleichungen (16) & (17) werden

$$\begin{align}\Box_L\xi~:=~& \ddot{\xi}- c_L^2 \xi^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho} \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2) \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{19}$$ $$\begin{align}\Box_M\eta~:=~& \ddot{\eta}- c_M^2 \eta^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho}\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2)\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime},\end{align}\tag{20}$$

wobei wir zwei Geschwindigkeiten definiert haben

$$c_M^2~:=~\frac{\tau}{\rho}\quad\text{and}\quad c_L^2~:=~\frac{Y+\tau}{\rho}.\tag{21}$$

Betrachten wir nur linkslaufende Wellen. Eine einfache Analyse zeigt, dass die EL-Gleichungen (19) und (20) zwei Bewegungsmodi haben:

1. Ein schnellerer reiner Längsschnitt$L$-Modus$\xi_L(x\!-\!c_Lt)$mit$\eta_L(x\!-\!c_Lt)\approx 0$(was formal die Einschränkung (13) verletzt, aber erinnern Sie sich an Gleichung (5)).

2. Eine langsamere Mischung$M$-Modus$\xi_M(x\!-\!c_Mt)$und$\eta_M(x\!-\!c_Mt)$das erfüllt die Einschränkung$\chi_M(x\!-\!c_Mt) \approx 0$in Gl. (13).

VIII) Die zwei Fahrmodi$L$und$M$sind in dem Sinne unabhängig, dass sie einander passieren können. Jedoch die Schaffung (und Vernichtung) der$M$-Modus sind nicht unabhängig von der$L$-Modus. Die Zwangsbedingung (13) wirkt einseitig: Eine Querverschiebung ist immer mit einem Längseinzug verbunden. Erinnern Sie sich daran, dass, wenn wir Dirichlet-Randbedingungen an den räumlichen Enden der Saite auferlegen, eine gesamte longitudinale Retraktion nicht möglich ist. Die Erschaffung (und Vernichtung) eines$M$-Modus muss daher eine schnellere Kompensation anregen$L$-Modus, der der Längskomponente des entgegenwirkt$M$-Modus. Siehe Ref. 1 für weitere Details.

IX) Schließlich ist es interessant zu versuchen, das Längsfeld herauszuintegrieren$\xi$im quartischen Modell (11). Wir können Gl. (19) für das Längsfeld

$$\begin{align}\xi~\approx~& \frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}~G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\frac{d}{dx^{\prime}}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2 \cr~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}\left\{-\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\right\}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{22}$$

durch Einführung einer Greenschen Funktion$G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$und Lichtkegelkoordinaten

$$\begin{align} x^{\pm} ~:=~& t \pm \frac{x}{c_L}, \cr \Delta x^{\pm} ~:=~& \Delta t \pm \frac{ \Delta x}{ c_L}, \cr \Delta t ~:=~& t - t^{\prime}, \cr \Delta x ~:=~& x - x^{\prime}.\end{align}\tag{23}$$

Dann wird der D'Alembertian in 1+1D

$$\Box_L ~=~ 4\partial_+\partial_-\tag{24}.$$

Die Funktion des Grüns $G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$erfüllt per definitionem

$$\begin{align}\Box_L G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~& \delta(\Delta t)\delta(\Delta x)\cr ~=~& \frac{2}{c_L} \delta(\Delta x^+)\delta(\Delta x^-).\end{align}\tag{25}$$

Die retardierte Green-Funktion ist

$$G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~ \frac{1}{2c_L}\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-).\tag{26}$$

Um jedoch eine Lagrangesche Formulierung (30) für die zu erreichen$\xi$-reduzierte Quartentheorie (11), sollten wir die symmetrisierte Greensche Funktion verwenden

$$\begin{align} G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~=~&\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\cr &+\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x^{\prime},t^{\prime};x,t).\end{align}\tag{27}$$

Es ist zweckmäßig, die Notation einzuführen

$$\begin{align} K&(x,t; x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~:=~& -\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~=~& -\frac{1}{4c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-) + \theta(-\Delta x^+)\theta(-\Delta x^-)\right]\cr ~=~& -\frac{1}{8c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[{\rm sgn}(\Delta x^+){\rm sgn}(\Delta x^-)\right].\end{align}\tag{28}$$

Dann die Ableitung$\xi^{\prime}$des Längsfeldes ist einfach gegeben durch

$$\xi^{\prime} (x,t) ~\approx~ \frac{Y}{2\rho} \int \! dt^{\prime}~dx^{\prime}~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2.\tag{29}$$

Endlich können wir eine Aktion aufschreiben

$$\begin{align} S_4 ~\stackrel{\xi}{\longrightarrow}&~ \int \! dt~dx \left(\frac{\rho}{2}\dot{\eta}^2-\frac{\tau}{2}\eta^{\prime 2} -\frac{Y}{8} \eta^{\prime 4}\right) \cr -&\frac{Y^2}{8\rho} \int dt~dx~dt^{\prime}dx^{\prime}~\cr &\eta^{\prime}(x,t)^2 ~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~ \eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{30}$$

für die$\xi$-reduzierte quartische Theorie (11). Es ist leicht zu überprüfen, dass die entsprechende EL-Gleichung für$\eta$ist Gl. (17), wo$\xi^{\prime}$auf der rechten Seite von Gl. (17) ist durch Gl. (29).

Die Aktion (30) ist bilokal, was erwartet wird. (Auf der positiven Seite hängt zumindest die Aktion (30) nicht von höheren Raumzeitableitungen ab!) Die nichtlokale Natur stellt jedoch das Konzept eines SEM-Tensors in Frage (und damit die kanonische Impulsdichte, was OP ursprünglich verlangte). Über). Es ist immer noch möglich, Noether-Erhaltungssätze im Zusammenhang mit der WS-Translationssymmetrie abzuleiten, aber wir werden dies hier nicht weiter verfolgen.

Verweise:

1. DR Rowland & C. Pask, Das Mysterium des fehlenden Wellenimpulses, Am. J. Phys. 67 (1999) 378 . (Huttipp: ACuriousMind.)

Dieses ständige Problem ist darauf zurückzuführen, dass nicht zwischen dem Newtonschen Impuls (der Erhaltungsgröße, die über den Satz von Noether aus der Invarianz des Systems bei einer gleichzeitigen Übersetzung der Saite und etwaiger Wellen darauf erhalten wird) und dem Pseudoimpuls (der Erhaltungsgröße, die über Noethers erhalten wird ) unterschieden werden kann Satz aus einer Invarianz des Systems unter der Translation der Wellen, während die Saite selbst nicht translatiert wird) Pseudoimpuls ist gegeben durch$-\rho \partial_x y \partial_t y$. Sie bleibt nur dann erhalten, wenn die Dichte der Saite unabhängig davon ist$x$. Die Erhaltung des Pseudomentums kann aus der Wellengleichung abgeleitet werden, die keine Kenntnis von elastischen Konstanten wie dem Elastizitätsmodul erfordert.

Jede echte Störung der Saite wird auch Longitudinalwellen anregen, die sich mit einer Geschwindigkeit ausbreiten, die vom Elastizitätsmodul abhängt. Dies wird in dem oben erwähnten Artikel von McIntyre erläutert. Es wird auch von Peierls in seinem Buch "Überraschungen in der theoretischen Physik" unter der Überschrift "Was ist der Impuls eines Phonons" diskutiert. Es stellt sich heraus, dass Pseudomentum nützlicher ist als das eigentliche Newtonsche Momentum, da es Änderungen im Pseudomentum sind, die Kräften entsprechen.

Siehe meinen Artikel „Phonons and Forces: Momentum versus Pseudomomentum in Moving Fluids“, arXiv:cond-mat/0012316 .