Wie wirkt sich die Spannung oder Länge einer Saite auf die Obertöne aus?

In einem kürzlich durchgeführten Experiment habe ich gesehen, dass Noten mit derselben Tonhöhe, gespielt auf Saiten unterschiedlicher Spannung, eine unterschiedliche Anzahl von Obertönen haben. Die Tonhöhe wird durch Längenänderung konstant gehalten. Weniger Spannung korreliert mit mehr Obertönen. Hat das etwas mit der Länge der Saite zu tun?

Eine ideale Saite hat nur Masse und Spannung. Stehende Wellen sind bei jedem ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz möglich, sodass Sie die vollständige harmonische Reihe erhalten. Echte Saiten haben Steifheit, was zu a führt ∂ 4 j ∂ X 4 Term in die Bewegungsgleichung. Harmonische verschieben sich in der Frequenz nach oben und fallen nicht mehr auf exakte ganzzahlige Vielfache. Je kürzer die Saite, desto ausgeprägter ist der Steifheitseffekt. Ich weiß also nicht, ob kürzere Saiten mehr Obertöne haben, aber vielleicht sind sie auffälliger, weil sie disharmonisch klingen.
Gibt es eine Möglichkeit, die Amplituden dieser Obertöne mathematisch abzuleiten?
Wenn Sie die Anfangsbedingungen haben. Eine typische Anfangsbedingung wäre eine gezupfte Saite – stationäre Dreiecksform bei T = 0 .

Antworten (1)

Um auf den Ausführungen von Ben51 aufzubauen, müssen wir tatsächlich von der klassischen Wellengleichung abweichen. Gracia und Sanz-Perela 2016 verwenden:


∂ 2 u ∂ T 2 = C 2 ∂ 2 u ∂ X 2 − E S K 2 ρ ∂ 4 u ∂ X 4

Wo E ist der Elastizitätsmodul für das Saitenmaterial, ρ ist es die lineare Dichte, S ist die Querschnittsfläche der Saite, und K ist der "Trägheitsradius", den sie schätzen K = R/2 für eine zylindrische Radiusfolge R .

Um Ihre Frage zu beantworten , schlagen die Autoren dann vor, dass das Frequenzspektrum einer Saite mit Steifigkeit die Form annimmt:


F N = N   F Ö 1 + B N 2     ( N ≥ 1 )

Wo B ist ein Inharmonizitätsparameter. Sie schlagen vor, dass es sich um Klaviersaiten handelt 10 − 3 .

(Denken Sie daran, dass für eine ideale Saite: F N = N   F Ö )

+1, aber vielleicht möchten Sie die Definition von hinzufügen S als Querschnittsfläche der Saite :)
Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien.
Deshalb sind Konzertflügel die größten: Je länger die Saite, desto harmonischer sind die Obertöne – die + Δ F Die Verschiebung von der Saitensteifigkeit wird minimiert. Laut Ben51s Fourier-Zerlegung des durch Zupfen gebildeten Dreiecks: Bei Pianos schlägt der Hammer bei 1/7 der Saitenlänge, da dieser Oberton disharmonisch ist: C, C, G, C, E, G, B
Wie wirkt sich die Spannung oder Länge einer Saite auf die Obertöne aus?
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