Nicht stehende Wellen an Schnur

Mein Problem ist folgendes: Angenommen, wir haben einen String (homogen, kein Energieverlust) mit einer gegebenen Ausbreitungsgeschwindigkeit: C .

Lassen Sie den Ursprung (die Quelle) der Welle bei X = 0 , also hat die einfallende (direkte) Welle die Form von

ψ ich ( X , T )   =   Sünde ⁡ ( ω T − k X ) .
Die Quelle ist sinusförmig.

Am anderen Ende der Saite (at X = L ), es gibt ein festes Ende, kein Energieverlust. An diesem Punkt ist die Phasendifferenz k ∗ L . Die Quelle der reflektierten Welle liegt in der X = L Punkt, der Abstand von der neuen Quelle ist L − X , also hat die reflektierte Welle die Form von

ψ R ( X , T )   =   − Sünde ⁡ ( ω T − k L − k L + k X )   =   − Sünde ⁡ ( ω T + k X − 2 k L ) .

Wenn wir die einfallende und die reflektierte Welle addieren, haben wir

ψ ( X , T )   =   2 cos ⁡ ( ω T − k L ) Sünde ⁡ ( − k X − k L ) ,
unter Verwendung der trigonometrischen Identität
Sünde ⁡ ( A ) − Sünde ⁡ ( B )   =   2 cos ⁡ ( A + B 2 ) Sünde ⁡ ( A − B 2 ) .

Das Problem: diese Wellenfunktion ψ wird immer eine stehende Welle sein, unabhängig von der Wellenlänge, aber die Erfahrung zeigt nur das λ = N ∗ 2 ∗ L Wellenlängen erzeugen stehende Wellen.

Der ψ ( X , T ) = 2 cos ⁡ ( ω T − k L ) Sünde ⁡ ( − k X − k L ) ist ähnlich wie cos ⁡ ( ω T ) Sünde ⁡ ( k X ) , Einziger Unterschied ist die Phasenverschiebung.

Wo ist der Fehler in der Herleitung?

Aber haben Sie darüber nachgedacht, was mit der reflektierten Welle passiert, wenn sie das „Quellenende“ der Saite erreicht, und so weiter? Es wird eine Interferenz zwischen einer unendlichen Anzahl von Wellen geben. Es ist nicht so schwer, es mathematisch zu handhaben, aber einfacher, wenn Sie bei jeder Reflexion einen kleinen Bruchteil der Amplitude verlieren.
Wenn Ihre Quelle ein Ende der Saite vibriert, ist dieses Ende nicht mehr fixiert, und die normalen Stehwellenbedingungen (die von zwei festen Enden ausgehen) gelten nicht.

Antworten (1)

Sie haben mit einer einfallenden rechten Wanderwelle begonnen.

ψ ich ( X , T ) = Sünde ⁡ ( ω T − k X )

und dazu eine linke Wanderwelle hinzugefügt, die die reflektierte Welle darstellt

ψ R ( X , T ) = Sünde ⁡ ( ω T + k X + ϕ )

Beachten Sie, dass Sie die Phasenbeziehung zwischen diesen beiden Wellen noch nicht kennen.

Anschließend haben Sie die beiden Wellen hinzugefügt, um ihre Überlagerung darzustellen.

ψ ich ( X , T ) + ψ R ( X , T ) = Sünde ⁡ ( ω T − k X ) + Sünde ⁡ ( ω T + k X + ϕ ) = 2 cos ⁡ ( k X + ϕ 2 ) Sünde ⁡ ( ω T + ϕ 2 )

und dann eine Einschränkung angegeben, die das war X = L die Summe der einfallenden Welle und der reflektierten Welle war für alle Zeiten Null.

2 cos ⁡ ( k L + ϕ 2 ) Sünde ⁡ ( ω T + ϕ 2 ) = 0

Eine Lösung ist das k L + ϕ 2 = π 2 ⇒ ϕ = π − 2 k L

Setzen Sie diesen Wert von ϕ in die Summe der beiden Wellen ergibt

ψ ich ( X , T ) + ψ R ( X , T ) = 2 cos ⁡ ( k X − k L + π 2 ) Sünde ⁡ ( ω T − k L + π 2 )

die sicherlich alle Eigenschaften einer stehenden Welle für alle Werte von hat k und Wellenlänge λ = 2 π k

Mal sehen, was bei passiert X = 0

ψ ich ( 0 , T ) + ψ R ( 0 , T ) = 2 cos ⁡ ( − k L + π 2 ) Sünde ⁡ ( ω T − k L + π 2 )

An dieser Position ist die Amplitude der kombinierten Wellen 2 cos ⁡ ( − k L + π 2 ) was nicht null ist.

Wenn Sie möchten, dass die Summe bei Null ist X = 0 dann müssen Sie eine zweite Einschränkung hinzufügen, die zum Beispiel sein könnte

− k L + π 2 = − π 2 ⇒ k L = π ⇒ L = λ 2

Eine perfekte Reflexion erzeugt also immer eine stehende Welle, aber wenn Sie dann verlangen, dass sich an einer bestimmten Position ein Knoten befindet, können nur bestimmte Wellenlängen diese Bedingung erfüllen.

PS - Bitte überprüfen Sie die Mathematik, da meinerseits viel Platz für Fehler ist!

Die allgemeine Lösung hat im Wesentlichen zwei Parameter, den Phasenwinkel der reflektierten Welle und die Wellenlänge (Frequenz) der stehenden Wellen. Die Randbedingungen an den beiden Enden legen diese beiden Parameter fest, aber wenn BCs nur an einem Ende definiert sind, kann nur die Phase festgelegt werden. Ist das eine korrekte Zusammenfassung?
Ich denke, das ist richtig.
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