Stehende Wellen auf Schnur mit unterschiedlicher Dichte

Auf Daniel Russells Seite mit Akustik- und Vibrationsanimationen finden Sie viele hilfreiche Informationen (und einige großartige Animationen) .

Besonders hervorzuheben ist die Tatsache, dass aus der Wellenimpedanz die Amplitude der reflektierten Welle berechnet werden kann. Die Wellenimpedanz ist gegeben durch

$$Z = \rho c = \sqrt{\rho T}$$

Und die Amplitude der reflektierten Welle ist gegeben durch

$$A_r = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1+Z_2} A_i$$

Wenn$Z_2 = 3Z_1$, es folgt dem$A_r = -\frac12 A_i$für die Welle, die von links nach rechts wandert, und$A_r' = \frac12 A_i'$für die Welle, die von rechts nach links läuft. Die übertragene Amplitude ist gegeben durch

$$A_t = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}$$

Reisen von niedriger zu hoher Dichte, das ist wieder so$A_t = \frac12 A_i$, während es von rechts nach links ist$A_t' = \frac32 A_i'$.

Ein Teil des Abprallens der Wellen ist in diesem Diagramm dargestellt:

Bei (a) wandert ein einzelner Impuls nach rechts. Es wird an der Grenze teilweise reflektiert, und ein Impuls mit der halben Amplitude (und 1/3 der Wellenlänge) setzt sich nach rechts fort, während der Rest bei (b) reflektiert und invertiert wird. Bei (c) ist die linke Welle zurückgekehrt, während die rechte noch nach rechts wandert. Es findet eine weitere Übertragung/Reflexion statt, und Sie erhalten einen noch kleineren Bruchteil der Welle links und einen zweiten Impuls rechts bei (d). Wenn Sie dieses Diagramm fortsetzen würden, würden Sie sehen, dass die Bewegung links und rechts eine unendliche Summierung von Wellen mit unterschiedlichen Amplituden und Timings ist; eine stationäre Lösung kann nur für bestimmte Frequenzen existieren, die wir weiter unten berechnen werden.

Dieses Diagramm zeigt, wie es aussehen würde, wenn Sie dem linken Ende der Saite einen kurzen "Kick" geben könnten und beobachten könnten, wie sich die Wellen ausbreiten. Wenn diese Impulse hin und her wandern, kommt es normalerweise vor, dass die höheren Frequenzen gedämpft werden und Sie eine stehende Welle zurücklassen. Im Prinzip kann man das gleiche Diagramm mit Sinuswellen machen, aber es würde schnell sehr chaotisch aussehen - also gehen wir stattdessen zur mathematischen Behandlung:

Es ist bekannt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle proportional zur inversen Quadratwurzel der Masse pro Längeneinheit ist; Also, wenn Sie die Hälfte der Saite an Dichte haben$\rho$und die andere Hälfte bei Dichte$9\rho$, dann wandert die Welle im dünneren Teil der Saite 3x schneller - und im dickeren Teil sollten mehr Wellen sein.

Um dies zu zeichnen, müssen Sie eine Funktion finden, die sowohl in der Amplitude (damit die Saite nicht reißt) als auch in der ersten Ableitung stetig ist (andernfalls gibt es am "Knick" eine unendliche Beschleunigung, bis sie wieder glatt ist). Das bedeutet, dass es links von der Mitte die Form hat

$$y = A_1 \sin(k x)$$ während es rechts ist

$$y = A_2 \sin(3k (2L-x))$$

(Verwendung der$\sin$Basisfunktion wie dieser erzwingen wir die Randbedingungen bei x=0 und x=2L).

Die Kontinuität der Amplitude impliziert dies

$$A_1 \sin(kL)=A_2\sin(3 kL)$$

und Stetigkeit der ersten Ableitung:

$$A_1 k \cos(kL)=-3 A_2 k \cos(3 kL)$$

Jetzt können wir nach der Wellenzahl auflösen$k$und das Verhältnis der Amplituden in den beiden Hälften der Saite. Putten$A_1=1$Der Einfachheit halber können wir die beiden Gleichungen durcheinander dividieren und das finden

$$\tan{ kL} = -3 \tan(3 kL)$$

Ich bin nicht schlau genug, um diese Gleichung zu lösen - aber Wolfram Alpha ist es. Es gibt mir

$$\begin{align}kL &= n\pi\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &\rm{with ~ n\in \mathbb{Z}}\end{align}$$

Hier sind Diagramme von 4 verschiedenen Harmonischen, die aus dem Obigen berechnet wurden:

Interessanterweise ist für den trivialen Modus, bei dem sich an der Kreuzung ein Knoten befindet, das Verhältnis der Amplituden der für die Kontinuität erforderlichen Wellen unterschiedlich (3: 1 gegenüber 1,5: 1). Nicht sicher, warum das so ist.

Haftungsausschluss: Es ist möglich, dass ich oben einen Fehler in meiner Mathematik gemacht habe ... aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Prinzipien solide sind.

An stehende Wellen in Form von Reflexionen von der Diskontinuität in der Mitte zu denken, führt zu Verwirrung. Hier ist eine einfachere Lösung.

Da die Saitenspannung gleichmäßig ist, sich aber das Masse/Längen-Verhältnis am Mittelpunkt um den Faktor 9 ändert, müssen Sie Verschiebung und Steigung an der Diskontinuität anpassen.

$$\begin{align} D(x)&=A\sin (kx) & \text{for }x&<L \\ D(x)&=B\sin (3k(2L-x))&\text{for }x&>L \\ \\ A\sin (kL)&=B\sin (3kL) \\ A\cos (kL)&=-3B\cos (3kL) \\ \end{align}$$ Teilen Sie die erste Gleichung durch die zweite, um A & B zu eliminieren: $\tan (kL)=-\tfrac{1}{3}\tan (3kL)$. Sie könnten diese fiese kleine transzendentale Gleichung grafisch für zulässige Werte von k lösen und dann einstecken, um A/B zu erhalten .

Beginnen wir der Einfachheit halber mit:

Nehmen wir an, ich beobachte stehende Wellen bei einer Frequenz$f1,f2,f3$... was wäre die Form der Saite. Es kann nicht einfach eine Schleife, zwei Schleifen bzw. drei Schleifen sein, da sich die Wellenlänge der Welle ändert, wenn wir von einer Seite zur anderen gehen.

Die Geschwindigkeit der Welle in einer Saite ist gegeben durch$v = \sqrt{\frac T\mu}$Wo$T$ist Spannung in Saite und$\mu$ist die Masse pro Längeneinheit der Schnur.

Da der zweite Teil neunmal so dicht ist wie der erste Teil und die Spannung in beiden Saiten gleich ist, ist klar,

$$v_1 = 3v_2$$

Die Wellenlängen in den Teilen werden also wie folgt in Beziehung gesetzt$\lambda_1 = 3\lambda_2$da die Frequenz der Welle über die gesamte Saite gleich bleibt. Die Saite sieht also in ihrer Grundfrequenz etwa so aus:

Für höhere Frequenzen multiplizieren Sie einfach die Anzahl der Halbwellenlängen dazwischen$AB$Und$BC$bei der Grundfrequenz durch das Niveau der Harmonischen, um die Anzahl der Halbwellenlängen zu erhalten$n^{th}$harmonisch.

Nun schauen wir uns das an:

Damit sich stehende Wellen ausbilden, tut das$W_1$müssen mit der Anfangswelle in Phase sein oder tut das$W_2$müssen in Phase mit der Anfangswelle sein.

Für die stehende Grundwelle gilt:$W_2$wird in Phase mit der Anfangswelle sein, wenn sie zum ersten Mal auf die Verbindungsstelle trifft.$W_1$wird nach der ersten Reflexion nicht in Phase mit der Anfangswelle sein. Aber das wird sich nach späteren Reflexionen/Übermittlungen ändern.

(In Phase zu sein, meine ich, dass sie auf derselben Seite der Saite schwingen, und ich nehme an, Sie haben dasselbe gemeint.)

Das ist weil$W_1$wird sich einem unterziehen$\pi$Phasenverschiebung bei Reflexion am Übergang$B$. Auch mit der Zeit$W_2$reist von B nach C und zurück nach B,$W_1$dreimal von B nach A und zurück gefahren sein. Der$W_2$reflektiert bei C unterzogen werden$\pi$Verschiebung, und daher wird es, wenn es in den ersten Teil bei B eintritt, in Phase mit der Anfangswelle sein.

Hoffe das hat Sinn gemacht. Ansonsten schreibt es mir in die Kommentare..

Ich schließe grundsätzlich daraus, dass eine stehende Welle vergleichbar mit einer homogenen Saite nicht möglich ist. Hier ist die Erklärung:

Für eine Welle auf einer Saite ist die Grundschwingungsfrequenz (die niedrigste Frequenz, die zu einer stehenden Welle führt):

$$f_1 = {\sqrt{T\over{m/L}}\over2L}\quad \tag1$$ aus Ref , wo $T$, $m$, Und $L$sind die Seilquerschnittsspannung, -masse und -länge.

Höhere Vibrationsfrequenzen$f_2$,$f_3$... (sogenannte Harmonische), die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, werden hier durch Erhöhung der Spannung in Vielfachen von erreicht$T$. Bei diesen Frequenzen, bei denen stehende Wellen sichtbar sind, ist die sichtbare Welle die Summe der Wellen, die sich entlang der Saite nach links und rechts ausbreiten (siehe Animation , wobei Gelb eine Summe aus Blau (Bewegung nach links) und Grün (Bewegung nach rechts) ist) .

Wenn Ihre Saite zwei oder mehr Abschnitte mit unterschiedlicher Masse pro Längeneinheit hat, dann um eine stehende Welle bei einer bestimmten Frequenz zu erreichen:

1. Die Schwingungsfrequenz muss mit der Grundschwingungsfrequenz jedes Saitenabschnitts multipliziert mit einer ganzen Zahl übereinstimmen (es sind verschiedene ganze Zahlen pro Abschnitt zulässig, d. h. die Grundfrequenz eines Abschnitts kann mit der übereinstimmen$2^{nd}$oder$3^{rd}$Oberton einer anderen Sektion).

2. Die an der Grenzfläche zweier gegenläufiger Saitenabschnitte reflektierten Wellen dürfen mit den sich vorwärts bewegenden Wellen nicht destruktiv interferieren.

3. Da die Seilabschnitte verbunden sind, haben sie die gleiche Spannung, also ist dies eine Einschränkung.

Wir können anscheinend die Bedingungen 1 und 2 erfüllen, vorausgesetzt, die Saitenabschnitte schwingen mit unterschiedlichen Harmonischen. In Ihrer Frage, wo ein Abschnitt die neunfache lineare Dichte eines anderen hat, also:

(9 x die Grundfrequenz des Abschnitts mit linearer Dichte$u$) = (die Grundfrequenz des Abschnitts mit linearer Dichte$9u$).

Die unüberwindbare Bedingung ist, dass gleichzeitig die Frequenz in einem Abschnitt gleich der Frequenz in dem anderen Abschnitt sein muss und die Spannung in einem Abschnitt gleich der Spannung im anderen Abschnitt sein muss, was wir in der Gleichung sehen können$1$ist für Schnitte mit unterschiedlichen Titern nicht möglich .

Wenn Sie sich dafür entscheiden, die Bewegung der Wellen mithilfe der Wellenamplitudengleichung zu visualisieren:

$y = A\sin({\omega t + \phi})\tag2$aus Ref , wo$y$ist die vertikale Position, an der sich zwei Seilabschnitte treffen,$\omega$ist die Winkelfrequenz der Schwingung und$\phi$der Phasen-/Verschiebungswinkel der Welle (konstant) ist, erreichen Sie die gleiche Einschränkung, da:

• Die Gleichung beschreibt lediglich die Bewegung, wobei die Spannung bereits zwischen Seilabschnitten unterschiedlicher linearer Dichte gleich sein muss.
• $\omega$ein Vielfaches der Grundschwingungsfrequenz ist$f_1$.
• Deshalb$\omega$ist nicht dasselbe für die beiden Seilabschnitte mit unterschiedlicher linearer Dichte, die sich an einem bestimmten Punkt treffen.