Warum hängt die Frequenz eines Wellenimpulses auf einer Saite nur von der Quelle des Wellenimpulses ab?

Es gibt eine Gleichung, die die Situation einer Saite unter einem Frequenzimpuls richtig übersetzt$\omega$am Punkt$x_0$der Saite.

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2}+\kappa \delta(x-x_0)\sin(\omega t)$$ diese Gleichung ist nichts anderes als eine Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes. Der erste Begriff ist die $ma$Teil der $f=ma$. Hier $\rho$spielen das Loch der Masse $m$, ist eigentlich die Dichte der Saite. Die Logik ist, dass jeder Punkt $x$der Saite kann sich verformen $y_x(t)$, oder $y(x,t)$. $\frac{d^2y}{dt^2}$ist die Beschleunigung des Punktes $x$zum Zeitpunkt $t$. Der zweite Term ist die Spannung.

Spannung ist eine Kraft, die jeder Punkt der Saite spüren kann, wenn die benachbarten Punkte der Saite nicht gedehnt werden.$T$misst die Stärke. Wenn Sie den Stachel verformen, würde die Spannung versuchen, die Saite wieder dehnbar zu machen, aber durch Energieerhaltung erzeugt dies eine Schwingung.

Der letzte Term ist die Quelle. Der$\delta(x-x_0)$sagt, dass sich die Quelle am Punkt befindet$x_0$der Saite. Der$\sin(\omega t)$sagt, dass die Quelle den Punkt oszilliert$x_0$mit Frequenz$\omega$.

Wenn wir all dies zusammenfassen, haben wir, dass die Quelle beginnt, den Punkt zu oszillieren$x_0$, beginnt die Spannung an anderen Stellen zu wirken$x\neq x_0$nahe bei$x_0$. Dies geschieht schließlich durch die gesamte Saite. Das Ergebnis ist eine Welle mit Geschwindigkeit$v=\sqrt{T/\rho}$. Dies ist so, weil an Punkten$x\neq x_0$, wir haben:

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{T}{\rho}\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x_+ \partial x_-}=0$$ Wo $x_{\pm}=x\pm vt$. Die Lösung ist eine Überlagerung von linken und rechten Wellen $$y(x,t)= f(x_+)+g(x_-)$$ Die vollständige Lösung muss mit der Oszillation des kompatibel sein $x_0$mit Frequenz $\omega$. Dann schließen wir, dass alle Punkte genau mit der gleichen Frequenz mit unterschiedlichen Phasen schwingen müssen, andernfalls $y(x,t) \neq f(x_+)+g(x_-)$. Versuchen Sie zu visualisieren, indem Sie den Referenzrahmen nehmen, der die Konfiguration der Funktion ausmacht $y(x,t)$jedenfalls.

Ich würde sagen, es hat mit Energie-/Informationserhaltungsgesetzen zu tun. Sie können sich vorstellen, dass sich eine Welle (sei es elektromagnetisch oder Schwingungen an einer Schnur) durch ein Medium ausbreitet. Die Energie einer solchen Welle ist gegeben durch:

1. Klassischer harmonischer Oszillator (Pendel oder schwingende Saite)

   $$U = \frac{1}{2}kx^2$$ Wo$x$ist eine Verschiebung aus der stationären Ruhelage und$k$ist eine Konstante (Federkonstante), die dazu neigt, das System zurück in Richtung des stationären Gleichgewichts zu ziehen. Die Schwingungsfrequenz ist hier $$f= \frac{1}{T}= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$ Wo$T$ist der Zeitraum und$m$die Masse des Oszillators (Masse der Einheitslänge einer Saite, wenn Sie so wollen). Sie können also sehen, dass die im System gespeicherte Energie durch gegeben ist $$U=\frac{m}{2}(2\pi f)^2 x^2$$ Es ist also klar, dass, wenn wir das Fehlen von Verlust oder Gewinn annehmen, die Frequenz konstant bleiben muss, während sich die Welle auf der Saite fortbewegt, sonst gewinnen oder verlieren wir Energie.

2. Quantenmechanischer harmonischer Oszillator (elektromagnetische Wellen - Photonen)

   $$E = hf$$ Wo$h$ist die Plankenkonstante. Auch hier hängt die Energie von der Frequenz ab und muss in Abwesenheit lokaler Quellen oder Senken konstant sein.

Nun, im Falle von Übertragung/Reflexion an einer Grenzfläche, könnte es hilfreich sein, sich das Seil als eine Reihe von gleich beabstandeten Kugeln vorzustellen, die mit masselosen Federn/Seilen verbunden sind, dh so etwas wie

$$-\cdot-\cdot-\cdot-$$ Als Schnittstelle im Fall eines Seils können wir uns ein dünnes Stück Seil vorstellen, das an einem dicken Stück Seil befestigt ist. $$-\cdot-\cdot-\cdot-\odot-\odot-\odot-$$

Energie wandert durch diese Seilanordnung über „Nächste-Nachbar“-Wechselwirkungen. Angenommen, ein Impuls wandert von links nach rechts, damit sich der 3. Ball zu bewegen beginnt, muss der 1. Ball Energie auf den 2. übertragen und so weiter. Wir können uns die Frequenz als Schwingungsrate (Wackeln) vorstellen. Der große Ball, der an der Schnittstelle sitzt, kann nicht anfangen zu wackeln, bis der kleine Ball zu seiner Linken wackelt, und dieses Wackeln kommt mit einer konstanten Rate von an$f$pro Sekunde und werden weitergegeben.

Während sich nun die Welle im 2. Medium (damit meine ich das Muster) mit einer anderen Geschwindigkeit fortbewegt, werden die Wackelbewegungen zwischen den einzelnen Kugeln mit konstanter Geschwindigkeit übertragen, da sonst der Informationsfluss zusammenbricht. Dies äußert sich in einer Wellenlängenänderung im 2. Medium.

$$f= \frac{v_p}{\lambda}$$ Wo $v_p$ist die Phasengeschwindigkeit (Geschwindigkeit der Wellenmusterausbreitung) und $\lambda$die Wellenlänge. Behalten $f$konstant, wenn $v_p$steigt, sollte es auch $\lambda$und umgekehrt.