Falsches Ergebnis für eine stehende Welle an einem Seil mit freien Enden [geschlossen]

Um es etwas knapper zu machen, Sie haben fast die richtige Gleichung, aber denken Sie daran$f,g$sind Funktionen nur einer Variablen und daher sind partielle Ableitungen davon völlig bedeutungslos. Aber das haben wir

$$\left({\partial\psi\over\partial x}\right)_{t~\text{const},~x=0} = 0 ~~~\Leftrightarrow~~~f'(-\omega t) + g'(\omega t) = 0$$ Sie sind richtig, die zu ersetzen $\omega t$mit nur einem allgemeinen Argument $u$, und das zu finden $$g'(u) = - f'(-u).$$ Ihre Behauptung jedoch, dass dies die Lösung hat $g(u) = - f(-u)$ist nicht richtig . Das liegt an der Kettenregel , die besagt, dass die Ableitung von $p(x) = q(r(x))$ist nicht $p'(x) = q'(r(x))$sondern ist stattdessen $$p'(x) = q'(r(x))\cdot r'(x).$$ Dies bedeutet, dass die eigentliche Lösung sein muss $g(u) = f(-u)$damit kommt die Kettenregel in dieser Form zustande $r(x) = -x, ~~r'(x) = -1$führt das Minuszeichen ein, das wir oben sehen.

Also, was war dein Fehler?

Dein Fehler ist die Wahl$g(x,t) = -\cos (x+vt)$was gibt$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \ne 0$bei$x=0$

Die Wahl der$g$war fehlerhaft, weil Sie die Bedingung nicht angewendet haben$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} = 0$korrekt.

Du wolltest also$\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x-vt) = -\frac{\partial g}{\partial x}$bei$x=0$.

was gibt$\frac{\partial g}{\partial x} = - \sin (vt)$und die Funktion von$x+vt$was dies erfüllt ist$g(x,t) = +\cos (x+vt)$

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Die folgenden Grafiken sind Momentaufnahmen zu einem bestimmten Zeitpunkt$t$.

Die Funktion$f$ist eine rechte Wanderwelle und wird in der Grafik rot dargestellt.

Die Funktion$\frac {\partial f}{\partial x}$ist die Steigung der Kosinusfunktion$f$und ist eine Sinusfunktion und wandert mit der Zeit auch nach rechts und folgt der Funktion$f$(in der Grafik lila dargestellt).

Eine der Bedingungen, die Sie auferlegen, ist die$x=0$Sie müssen für alle Zeit haben$\frac{\partial \psi}{\partial x}=0$

Das bedeutet, dass$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}=0$also die$\frac{\partial g}{\partial x}$Graph muss das "Gegenteil" von sein$\frac{\partial f}{\partial x}$Graph und und so muss ein Sinusgraph sein, der sich nach links bewegt, wie in Blau dargestellt.

Weil Sie diesen Zustand wollen$\frac{\partial \psi}{\partial x}=0$für alle Zeiten Welle zu halten$g$muss auf Reisen gelassen werden.

Dies bedeutet, dass die$g(x,t) = +\cos(x+vt)$.

Wenn Sie sich etwas später vorstellen, das$f$Und$\frac {\partial f}{\partial x}$Graphen bewegen sich ein wenig nach rechts mit dem$g$Und$\frac {\partial g}{\partial x}$Wenn sich die Graphen ein wenig nach links bewegen, können Sie sich die Schnittpunkte auf der y-Achse der Gradientengraphen vorstellen, die sich beide um den gleichen Betrag weiter vom Ursprung entfernen, sodass ihre Summe immer noch gleich Null ist.