Transparente Randbedingung [geschlossen]

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Transparente Randbedingung [geschlossen]

Wellen
Optik
Physik
Randbedingungen
Computerphysik

jacksonslsmg4

Ich interessiere mich für die Finite-Differenzen-Strahlausbreitungsmethode und ihre Anwendungen. Ich versuche die Helmholtz-Gleichung zu lösen. Zunächst möchte ich es für den einfachsten Fall ohne Nichtlinearitäten numerisch lösen. Nur um sicherzugehen, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Aber ich verstehe wirklich nicht, wie man die Randbedingung schreibt. Ich habe die transparente Randbedingung gewählt und muss sie richtig schreiben, um die Gleichung numerisch zu lösen.

Für ein lineares, homogenes und augenblickliches Medium wird also die Helmholtz-Gleichung geschrieben (im 3D-Fall ist z die Ausbreitungsrichtung)

\frac{\partial^{2} E (X, j, z)}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} E (X, j, z)}{\partial j^{2}} + \frac{\partial^{2} E (X, j, z)}{\partial z^{2}} = - (k_{0} N)^{2} E (X, j, z)

$\frac{\partial^{2} E(x,y,z)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E(x,y,z)}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E(x,y,z)}{\partial z^{2}} = - (k_{0} n )^{2} E(x,y,z)$

Es kann gelöst werden, wenn die Anfangsbedingung bekannt ist, $E(x,y,0)$ .

Betreiber vorstellen $\hat{S}$

\hat{S} = \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial j^{2}} + (k_{0} N)^{2}

$\hat{S} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + (k_{0} n )^{2}$ Die Gleichung kann in der folgenden Form geschrieben werden

\frac{\partial^{2} E (X, j, z)}{\partial z^{2}} = - \hat{S} E (X, j, z)

$\frac{\partial^{2} E(x,y,z)}{\partial z^{2}} = -\hat{S} \ E(x,y,z)$

Die Lösung dieser Gleichung ist

E (X, j, z) = \exp [- ich \sqrt{\hat{S}} z] E^{+} (X, j, 0) + \exp [ich \sqrt{\hat{S}} z] E^{-} (X, j, 0)

$E(x,y,z) = \exp \left [ - i \sqrt{\hat{S}} z \right ] E^{+}(x,y,0) + \exp \left [ i \sqrt{\hat{S}} z \right ] E^{-}(x,y,0)$

Betrachtet man nur die sich vorwärts ausbreitende Komponente und führt man den Ausbreitungsoperator ein $\hat{P}^{+}$ das elektrische Feld bei $z=\Delta z$ kann über den Wert des Feldes at geschrieben werden $z=0$ (Anfangszustand früher geschrieben) und so weiter.

E (X, j, Δ z) = {\hat{P}}^{+} (Δ z) E (X, j, 0)

$E(x,y,\Delta z) = \hat{P}^{+}(\Delta z) \ E(x,y,0)$ Wo

{\hat{P}}^{+} (Δ z) = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} {[- ich \sqrt{\hat{S}}]}^{N} Δ z^{N}

$\hat{P}^{+}(\Delta z) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left[- i \sqrt{\hat{S}} \right]^{n} \Delta z^{n}$

Der erhaltene Ausdruck kann an das Crank-Nicholson-Schema angepasst werden . Aber es ist auch notwendig, die Randbedingung zu schreiben. Wie schreibe ich die Randbedingung, wenn das Medium in den transparenten Wänden eingeschlossen ist?

David Ketcheson

Ich denke, Sie würden einige gute Antworten erhalten, wenn Sie dies auf scicomp.stackexchange.com fragen

Benutzer10851

Bei dieser Frage scheint es eher um die Implementierung einer numerischen Methode als um die Physik des Problems zu gehen.

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Transparente Randbedingung [geschlossen]

Ich denke, Sie würden einige gute Antworten erhalten, wenn Sie dies auf scicomp.stackexchange.com fragen
Bei dieser Frage scheint es eher um die Implementierung einer numerischen Methode als um die Physik des Problems zu gehen.

Mike · Answer 1

Da Sie scheinbar endliche Differenzen verwenden, sollten Sie sich das Papier von Hadley mit dem Titel "Transparent Boundary Condition for the Beam Propagation Method" ansehen - ohne Behandlung der Grenzwerte nehmen Sie automatisch eine Dirichlet-Randbedingung an.

Sie können die Randbedingungen in Ihren Quadratwurzel-Differentialoperator integrieren $\sqrt{\hat{S}}$ durch Approximation über eine Padé-Approximation, kurz: Quotienten von Polynomen in $\hat{S}$ . Damit gelangt man zu Gleichungen, die enthalten $\hat{S}$ Und $E$ , und erfüllen Sie Ihre Randbedingungen für Ihre $E$ Feld, indem Sie die richtigen 'Grenzeinträge' für auswählen $\hat{S}$ Matrixdarstellung von . Das ist der einzige Weg, den ich gefunden und implementiert habe, da es ähnlich ist, dasselbe für die paraxiale Annäherung zu tun, die die Helmholtz-Gleichung auf eine Form reduziert, die nur enthalten würde $S$ anstatt $\sqrt{\hat{S}}$ (Ich bin kein kluger Mann).

Wie Sie aus dem Artikel von Hadley ersehen werden, besteht die einfachste Form der TBC (transparente Randbedingung) darin, das Feld an der Grenze als seitliche ebene Welle zu behandeln und sicherzustellen, dass keine reflektierte ebene Welle durch Modifikation in das Berechnungsfenster zurückgelangt die Felder an der Grenze.

Als ich anfing, mich mit der Lösung der Helmholtz-Gleichung zu beschäftigen, stieß ich auf eine Dissertation von Filippo Pigozzo, die wertvoll war, um einen sehr guten Überblick über die Materie zu bekommen.

Danke für deine Antwort, Mike. Diese Frage stellte ich genau nachdem ich Pigozzos Dissertation gelesen hatte. Ich werde den Artikel von Hadley nach weiteren Informationen durchsuchen. Danke.
@mike der Link zur Dissertation scheint defekt zu sein; könnten Sie bitte den Titel der Dissertation in Ihre Antwort aufnehmen?

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jacksonslsmg4

David Ketcheson

Benutzer10851

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Mike

jacksonslsmg4

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