Dies ist ein gängiger Trick, der bei linearen Differentialgleichungen mit einem inhomogenen treibenden Term verwendet wird. Es ist einfacher, komplexe Exponentiale algebraisch zu manipulieren als Sinus und Cosinus, und wenn Sie am Ende den Realteil der Lösung nehmen, landen Sie sowieso an derselben Stelle. Eine Möglichkeit, sich das vorzustellen, ist, dass Sie durch Ersetzen der reellwertigen Funktionen durch komplexwertige Funktionen praktisch zwei Gleichungen gleichzeitig lösen (eine für den Realteil und eine für den Imaginärteil). Da die Lösung in x linear ist, stören sich die beiden Teile der Gleichung nicht, und beide sind am Ende gültige Lösungen.

Hier ist ein bisschen detaillierter, wie es funktioniert:

$$\cos(\omega t)=\textrm{Re}\left(e^{i\omega t}\right)$$

$$\sin(\omega t)=\textrm{Re}\left(-ie^{i\omega t}\right)$$

Wo$Re$gibt an, den reellen Teil zu nehmen.

Da dies eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einem harmonischen treibenden Term ist, ist die allgemeine Lösung eine Summe von$\cos(\omega t)$Und$\sin(\omega t)$, was auch ausgedrückt werden kann als:

$$x=x_0\cos(\omega t+\phi)$$ für eine realwertige Phase $\phi$.

Und die Grundrechnung gibt uns auch die Geschwindigkeit und Beschleunigung:

$$v=-x_0\omega \sin(\omega t+\phi)$$

$$a=-x_0\omega^2\cos(\omega t+\phi)$$

Nun, an diesem Punkt könnten wir all dies einstecken und etwas ziemlich chaotische Algebra machen, um Sinus- und Cosinus-Terme abzugleichen und so zu lösen$x_0$Und$\phi$. Aber es geht auch anders. Nehmen wir stattdessen an, wir definieren$x_0'=x_0e^{i\phi}$, eine komplexe Konstante. Dann können wir das alles umschreiben als:

$$x=x_0\cos(\omega t+\phi)=\textrm{Re}(x_0e^{i\omega t+i\phi})=\textrm{Re}(x_0'e^{i\omega t})$$

Ähnlich,

$$v=\textrm{Re}(i\omega x_0'e^{i\omega t})$$

$$a=\textrm{Re}(-\omega^2x_0'e^{i\omega t})$$

$$F=\textrm{Re}(F_0e^{i\omega t})$$

und unter der Annahme, dass die anderen Parameter in der Gleichung reelle Zahlen sind, kann die gesamte Gleichung ausgedrückt werden als:

$$\textrm{Re}(((-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0)e^{i\omega t})=0$$

Dies muss für alle Zeitpunkte gelten, also können wir schlussfolgern:

$$(-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0=0$$

Und das gibt uns die komplexe Amplitude$x_0'$das löst die Gleichung. Die Differentialgleichung mit trigonometrischen Funktionen wurde in eine einfache algebraische Gleichung ohne trigonometrische Funktionen umgewandelt! Dies ist eine so schöne Vereinfachung, dass es so ziemlich universell gemacht wird. Wenn Sie neugierig sind, wie es in der Praxis verwendet wird, lade ich Sie ein, sich in das Thema Impedanz in der Elektrotechnik einzulesen.

Beachten Sie, dass wir als Bonus auch diese Gleichung gelöst haben:

$$\textrm{Im}\left(((-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0)e^{i\omega t}\right)=0$$

oder mit anderen Worten, der Imaginärteil ist ebenfalls Null. Sie können zurückgehen und dies überprüfen, aber im Grunde wäre dies das Ergebnis gewesen, wenn Sie sich entschieden hätten, es mit einer Sinuswelle anstelle einer Kosinuswelle anzutreiben (abgesehen von einigen Minuszeichen, die am Ende belanglos sind; Sie können Dinge leicht neu definieren, damit Sie am Ende mit der gleichen Physik enden) und wenn alle oben genannten Definitionen verwendet werden$\rm{Im}$anstatt$Re$.

Wenn sich die Leute an diesen Trick gewöhnen, tun sie es implizit und machen sich nie die Mühe, das aufzuschreiben$Re$Operator. Es versteht sich, dass Sie am Ende den realen Teil nehmen, um die tatsächliche physikalische Lösung zu erhalten. Die obige Algebra zeigt, warum Sie damit durchkommen können.

Als Übung könnten Sie versuchen, diese Herleitung noch einmal durchzugehen, aber mit an$x^2$Term zur Gleichung hinzugefügt. Es klappt nicht annähernd so sauber! Wenn die$x^2$Term klein ist, können Sie ihn als Störung behandeln, die einen kleinen zusätzlichen Effekt erzeugt, der um oszilliert$2\omega$zur Erstbestellung. Dies wird als nichtlineare Erzeugung der zweiten Harmonischen bezeichnet und wird sehr häufig in Lasersystemen verwendet.

Die Bewegungsgleichung für einen angetriebenen Oszillator lautet

$$m\ddot{x}+r\dot{x}+kx-F_0 \cos\omega t =0$$ Es kann umgeschrieben werden als $$\textrm{Re}\left[m\ddot{x}+r\dot{x}+kx-F_0 e^{i\omega t}\right]=0$$

Die Idee ist, die komplexe Gleichung zu lösen (weil es einfacher ist) und dann den Realteil zu nehmen, um eine gewünschte Lösung für die ursprüngliche Gleichung zu erhalten.

Auch, wie können wir eine Lösung finden$x$sein$x=Ae^{i\omega t}$, das verstehe ich im Stillen nicht.

Daran erinnern, dass die vollständige Lösung von ODE ist$x=x_0+x_t$, Wo$x_0$ist in Ihrem Fall die Lösung der homogenen ODE

$$m\ddot{x}_0+r\dot{x}_0+kx_0=0$$ Und $x_t$ist eine spezielle Lösung von inhomogenen DGL: $$m\ddot{x}_t+r\dot{x}_t+kx_t=F_0 e^{i \omega t}$$ Finden $x_t$wir raten $x_t=A e^{i\omega t}$.

TL;DR:

Die Verwendung der Exponentialfunktion hat viele Vorteile gegenüber der trigonometrischen Funktion. Es bietet eine viel intuitivere Visualisierung des Phänomens gegenüber den unbedeutenden trigonometrischen Funktionen. Es ist viel einfacher, Differentialgleichungen mit der Exponentialfunktion zu lösen als mit den herkömmlichen trigonometrischen Funktionen. Sie sollten jedoch nur das echte Gegenstück von extrahieren$e^{i\theta}$für das physikalische Phänomen

Einführung:

Angenommen, Sie definieren SHM in$x$-Achse; Da wir wissen, dass SHM die geometrische Projektion einer Kreisbewegung ist, können wir uns SHM als Schatten vorstellen – die Projektion eines Körpers, der sich einer Kreisbewegung unterzieht, und die SHM darstellen als:

$$x= A\cos(\omega t+\alpha)$$ Wo$A$ist der Radius der Kreisbahn und auch die Amplitude von SHM in$x$-Achse.

Allerdings gibt es auch eine Projektion dieser Kreisbewegung auf die$y$-Achse und dies impliziert at$y$-Achse, dort wird auch SHM vertreten durch gehen

$$y= A\sin(\omega t+\alpha)\;.$$

Aber wir kennen diese Bewegung entlang$y$hat keine wirkliche Existenz ; wir können jedoch so vorgehen, als ob wir es mit der Bewegung eines Punktes in zwei Dimensionen zu tun hätten. Trotzdem extrahieren wir am Ende nur die$x$-Komponente nur aus dieser zweidimensionalen Bewegung, da dies die tatsächlich existierende Bewegung ist.

Wir müssen diese zweidimensionale Bewegung so darstellen, dass wir leicht zwischen den physikalisch realen und imaginären Komponenten der Bewegung unterscheiden können.

Zweidimensionale Bewegung und Verwendung komplexer Zahlen, um die reale Bewegung von der unwirklichen zu unterscheiden:

Die zweidimensionale Bewegung wird ausgedrückt als:

$$\mathbf r= A\cos(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{i}}+ A\sin(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{j}}\;.$$ Um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die$\bf {\hat i}$Komponente die reale Bewegung ist, modifizieren wir die frühere Gleichung als $$\mathbf r= x\mathbf{\hat{i}}+ \color{red}{\iota} y\mathbf{\hat j}\;_;$$ Aufnahme von$\color{red}{\iota}$spiegelt die Tatsache wider, dass die Bewegung in$\bf{\hat j}$ist unwirklich oder eingebildet .

Oder, formeller, wir können schreiben

$$\mathbf r= x+ \color{red}{\iota} y$$ bereitgestellt$x$stellt die Verschiebung in einer Richtung parallel zu dar$\bf {\hat i}\;.$

Interpretation von$\color{red}{\iota}$:

Wie APFrench in seinem Buch schreibt:

Der Begriff$\color{red}{\iota} y$ist als Anweisung zu lesen, die Verschiebung vorzunehmen$y$in einer Richtung parallel zu$y$-Achse.

$\color{red}{\iota}$ist eine Anweisung , eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn auszuführen$90^\circ$auf was auch immer es vorausgeht.

• Um die Menge zu bilden$\color{red}{\iota}b_,$Wir treten in die Ferne$b$entlang der$x$-Achse und dann durchdrehen$90^\circ$um mit einer Längenverschiebung zu enden$b$entlang$\bf{\hat j}\;.$

• Um die Menge zu bilden$\color{red}{\iota}^2 b_,$Wir bilden uns zuerst$\color{red}{\iota}b$und bewirb dich dann weiter darauf$90^\circ$Drehung. ... Aber das führt sofort zu einer wichtigen Identität. Zwei aufeinanderfolgend$90^\circ$gleichsinnige Drehungen wandeln eine Verschiebung um$b$in die Verschiebung$-b\;.$

Somit,$\color{red}{\iota}^2 = -1\;.$Somit können wir den Vektor darstellen als$z= x+ \color{red}{\iota}y$Wo$x= A\cos(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{i}}$Und$y= A\sin(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat j}\;.$

Die komplexe Exponentialfunktion:

Nehmen wir den Fall einer kreisförmigen Bewegung, deren Radius Eins ist, nämlich.$A= 1\;.$Deshalb,

$$\mathbf r= \cos(\omega t+\alpha)+ \color{red}{\iota}\sin(\omega t+\alpha)\;.$$ Unter Verwendung von Taylor-Reihen können wir das sehen $$\mathbf r= \cos(\omega t+\alpha)+ \color{red}{\iota}\sin(\omega t+\alpha)= e^{\color{red}{\iota}(\omega t+\alpha)}\;.$$

Die Multiplikation von$e^{\color{red}{\iota}\theta}$ist geometrisch als positive Drehung um einen Winkel beschreibbar$\theta$, des Vektors, durch den$z$kann ohne Änderung seiner Länge dargestellt werden.

Warum verwenden$\color{red}{\iota}\;?$

Warum sollte ich die Exponentialfunktion verwenden? Kann ich nicht nur diese trigonometrischen Funktionen verwenden?

Nun, alles hat einen Grund.

Wie APFrench behauptet:

Der Hauptgrund ist die besondere Eigenschaft der Exponentialfunktion – ihr Wiederauftreten nach jeder Differenzierungs- oder Integrationsoperation. Wenn die grundlegende Bewegungsgleichung, wie es häufig vorkommt, Terme enthält, die proportional zu Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie zur Verschiebung selbst sind, führt die Verwendung einer einfachen trigonometrischen Funktion zur Beschreibung der Bewegung zu einer unangenehmen Mischung von Sinus- und Cosinus- Termen .

Sie können auch Folgendes überprüfen: Was ist der Vorteil der Verwendung der Exponentialfunktion gegenüber der trigonometrischen Funktion bei der Analyse von Wellen?

Anwendung:

Verwendung trigonometrischer Funktionen:

$$\ddot{x} + \nu \dot x + \omega_0^2 x= 0$$

Lass uns nehmen$x= Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha)$

$$\dot x= (-\gamma /2)Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) - \omega Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)$$ $$\begin{align}\ddot x&= (-\gamma /2)^2 Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + (\gamma \omega /2)Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha) - \omega^2 Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha)+ (\gamma\omega/2) Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)\\ &= \left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + 2(\gamma \omega /2)Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha) \;.\end{align}$$

Jetzt wird die Differentialgleichung;

$$\left[\left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)- \nu \frac{\gamma}{2} + \omega_0^2\right]Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + [\gamma\omega -\nu\omega]Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)= 0$$ was impliziert $$\left[\left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)- \nu \frac{\gamma}{2} + \omega_0^2\right]= 0\\ \gamma\omega -\nu\omega= 0$$ was ergibt: $$\gamma= \nu \\ \omega = \omega_0^2-\frac{\gamma^2}{4}$$

Kommentar: Puh! Meine Hände:/

Verwenden der Exponentialfunktion:

$$\ddot{x} + \gamma \dot x + \omega_0^2 x= 0$$

Machen wir daraus

$$\ddot{z} + \gamma \dot z + \omega_0^2 z= 0$$

Angenommen$z= Ae^{\color{red}{\iota}(pt + \alpha)}\;.$

Putten$z$in der gleichung erhalten wir:

$$(-p^2 + \color{red}{\iota} p\gamma + \omega_0^2)Ae^{\color{red}{\iota}(pt + \alpha)}\;.$$ Dies impliziert: $$(-p^2 + \color{red}{\iota} p\gamma + \omega_0^2) = 0\;.$$ Es kann nicht zufrieden sein, wenn$p$ist real, wie$\color{red}{\iota} p\gamma$würde verlassen werden, ohne durch eine Frist gekündigt zu werden. Deshalb setzen wir $$p = n+ \color{red}{\iota}s\;.$$ Setzen Sie den Wert von$p^2$in der vorhergehenden Gleichung erhalten wir; $$-n^2 -2n\color{red}{\iota}s + s^2 + \color{red}{\iota}n\gamma - s\gamma + \omega_0^2= 0\;.$$ Wenn wir Real- und Imaginärteil trennen, erhalten wir $$-n^2 + s^2 -s\gamma + \omega_0^2 = 0\\ -2ns + n\gamma = 0\;.$$ Daraus erhalten wir; $$s= \gamma/2\\ n^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4}\;.$$ Daher, $$\begin{align}z(t)&= Ae^{\color{red}{\iota}(nt + \color{red}{\iota}st + \alpha)}\\& = Ae^{-st}e^{\color{red}{\iota}(nt + \alpha)}\;.\end{align}$$

Wenn wir die reale Komponente nehmen, erhalten wir

$$x(t)= Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega t+ \alpha)\;.$$

Kommentar: Sehen Sie? Wie elegant und einfacher ist es, dieselbe Gleichung mit der Exponentialfunktion zu lösen? Beachten Sie auch, wie am Ende nur der Realteil extrahiert wird, da es sich um die eigentliche Bewegung handelt.