Wellen- vs. Helmholtz-Gleichung

Der Übergang von der vollzeitabhängigen Wellengleichung$(\mathrm{W})$zur Helmholtz-Gleichung$(\mathrm{H})$ist nicht mehr und nicht weniger als eine Fourier-Transformation. Für ausreichend regelmäßige Funktionen beides$u$Und$F$können als Überlagerungen monochromatischer Felder geschrieben werden, dh sie sind beide Fourier-Transformierte der Form

$$u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \quad\text{and} \quad f(x,t) = \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega,$$ wo die zeitlichen Fourier-Koeffizienten $U(x,\omega)$Und $F(x,\omega)$hängen von der Position ab - oder geben uns per Perspektivenwechsel Funktionen von $x$für jede $\omega$. Nun, alles, was wir bisher getan haben, ist eine ausgefallene Umschreibung unserer Variablen, aber es gibt zwei entscheidende Aspekte der Wellengleichung, die dies nützlich machen:

• es ist linear, und
• die einzige Abhängigkeit von der Zeit ist durch$\partial_t^2$, der ein linearer Operator ist, dessen Eigenfunktionen genau der Fourier-Kern sind, dh$\partial_t^2 e^{-i\omega t} = -\omega^2 e^{-i\omega t}$.

Die Linearität ermöglicht es uns, die linearen Operatoren der Wellengleichung bis hin zu den Fourier-Koeffizienten und der Eigenwertbeziehung für zu durchbrechen$\partial_t$ermöglicht es uns, diese partielle Differentiation auf diesem Sektor in einen algebraischen Faktor umzuwandeln, was uns gibt

$$\begin{align} 0 & = -\partial_{t}^2 u(x,t) + c^2 \nabla^2 u(x,t) + f(x,t) \\ & = -\partial_{t}^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + c^2 \nabla^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ -U(x,\omega) \partial_{t}^2 e^{-i\omega t} + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) e^{-i\omega t} + F(x,\omega) e^{-i\omega t} \vphantom{\sum}\right]\mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ \omega^2U(x,\omega) + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + F(x,\omega) \vphantom{\sum}\right] e^{-i\omega t} \mathrm d\omega . \tag{1} \end{align}$$ Von hier aus ist es leicht zu sehen, ob $f(x,t)$gegeben ist (so $F(x,\omega)$gegeben ist), können wir durch Setzen eine Lösung der ursprünglichen Gleichung finden $U(x,\omega)$eine Lösung der Helmholtz-Gleichung sein, $$c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + \omega^2U(x,\omega) = - F(x,\omega)$$ oder mit der kosmetischen Veränderung $k=\omega/c$, $$\nabla^2 U(x,\omega) + k^2U(x,\omega) = - \frac{1}{c^2} F(x,\omega).$$ (Außerdem ist es einfach zu zeigen, dass die Fourier-Transformation in $(1)$bedeutet, dass dies eine notwendige Bedingung ist, aber wenn Sie nur Lösungen finden, anstatt die allgemeine Lösung zu charakterisieren, reicht die Hinlänglichkeit aus.)

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OK, das ist also die formale Seite. Wie wird dies in der realen Welt verwendet? Es gibt drei Hauptwege, wie man dies verwendet.

1. Am klarsten ist es, wenn die Wellengleichung von einer Quelle erzwungen wird, die selbst monochromatisch ist (oder nahe genug an monochromatisch ist, dass Ihre Situation sich nicht um den Unterschied kümmert) oder in Bezug auf die Fourier-Amplitude$F(x,\omega) = F(x) \delta(\omega-\omega_0)$. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn man die elektromagnetische Abstrahlung einer auf ein sehr schmales Frequenzband eingestellten Antenne betrachtet.

   Physikalisch gesehen die Helmholtz-Gleichung$(\mathrm{H})$ codiert die Ausbreitung in einem sehr realen Sinne – außer dass Sie in einem einzigen Durchgang die kohärente Überlagerung der Emission betrachten, die von einer Quelle kommt, die immer eingeschaltet ist und für alle Zeiten mit einer konstanten Frequenz oszilliert. In diesem Fall erwarten Sie, dass die physikalische Reaktion auf derselben Frequenz liegt, aber die räumliche Reaktion kann bei Vorhandensein von Reflexionen, dispersiven Medien oder so weiter kompliziert sein. Wir lösen die Helmholtz-Gleichung, um diese räumliche Antwort zu finden.

   In diesem Fall,$\omega$wird offensichtlich durch den externen Treiber behoben.

2. Eine separate Anwendung ist, wenn wir nach Resonanzmoden der fraglichen Domäne auflösen; Dies sind Nicht-Null-Lösungen der Helmholtz-Gleichung, die auch beim Fahrer gelten$F$Null ist, und sie sind wichtig, z. B. wann$F$ist ein Impuls, der zeitlich begrenzt ist, wie das Schlagen einer Trommel, und die Effekte werden in einem begrenzten Bereich mitschwingen gelassen, den die Energie nicht leicht verlassen kann.

   In diesem Fall,$\omega$wird durch die Domäne auf eine aus einem diskreten Satz von Resonanzfrequenzen festgelegt, die Nicht-Null-Lösungen von aufrechterhalten$(\mathrm{H})$selbst wenn der Fahrer Null ist, und der Prozess zum Lösen der Helmholtz-Gleichung beinhaltet das Finden dieser Resonanzfrequenzen. Das Endziel dieser Berechnung ist ein Satz von Resonanzfrequenzen$\{\omega_n\}$mit entsprechendem Lösungssatz$\{u_n(x)\}$die die homogene Helmholtz-Gleichung bei dieser Frequenz erfüllen und die eine vollständige Basis bilden, in der$L_2$Sinn, für Funktionen über die betreffende Domäne.

   Um dies mit dem Treiber in Einklang zu bringen, ist der einfachste Fall, einen impulsiven Treiber zu betrachten, also etwas von der Form$f(x,t) = f(x)\delta(t)$, mit einer flachen Fourier-Transformation. In diesem Fall sehen alle Moden den Impuls, aber nur die resonanten Moden können antworten. In diesem Fall zerlegen Sie$f(x)$als Linearkombination der$u_n(x)$, und dies sagt Ihnen, wie stark jeder Modus angeregt wird, was die zeitliche Entwicklung bestimmt, nachdem der Impuls weg ist.

   Beschreibt dies "Fortpflanzung" in einem angemessenen Sinne? Nun, Sie lösen letztendlich die Ausbreitung einer anfänglichen impulsiven Störung, wie das Zupfen einer Saite, indem Sie eine clevere Zerlegung dieser anfänglichen Störung in Modi finden, die sich zeitlich sauber (monochromatisch) entwickeln. Also ja.

3. Schließlich gibt es auch noch den Fall, in dem Sie nur einen beliebigen Treiber haben$f(x,t)$für die Wellengleichung, und alles, was Sie über ihre Fourier-Transformation sagen können, ist, dass sie existiert. In diesem Fall,$\omega$ist nicht als solches „ausgewählt“: Stattdessen ist es ein kontinuierlicher Parameter des Problems, bei dem Sie einen kontinuierlichen Satz separater inhomogener Helmholtz-Gleichungen lösen, um die zu erhalten$U(x,\omega)$, und dann addierst du sie alle zusammenhängend, um zu erhalten$u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$.

   Es ist jedoch wichtig, die Bedeutung dessen, was Sie sagen können , nicht zu unterschätzen$F$: nur indem man sagt "die zeitliche Fourier-Transformation von$f(x,t)$existiert", sagen Sie das$f(x,t)$kann als Überlagerung monochromatischer Wellen verstanden werden, von denen jede unabhängig gelöst werden kann und eine gewisse monochromatische Reaktion hervorruft$U(x,\omega) e^{-i\omega t}$, die dann addiert werden können, um dem Fahrer die globale Antwort zu geben.