Warum werden Schwingungen immer mit Sinus/Cosinus beschrieben?

Ein Teil davon ist, dass die Newtonsche Mechanik in Begriffen der Infinitesimalrechnung beschrieben wird .

Wenn wir Schwingungsbewegungen betrachten, sprechen wir von einem Teilchen, das dazu neigt, nicht aus einer Gleichgewichtsposition verschoben zu werden. Das heißt, die Kraft auf das Teilchen bei der Verschiebung$x$,$F(x)$, ist gleich einer Verschiebungsfunktion$x$,$g(x)$.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Kalkül hier involviert ist. Zuerst,$F=ma$, und$a$, Beschleunigung, ist eine "Änderungsrate" und daher ein Kalkülkonzept. Also haben wir$ma(x)=g(x)$.

Nun zu einer allgemeinen Funktion$g$ist zu schwer - damit kommen wir nicht weiter. Wie können wir also am allgemeinsten vorgehen? Eine fruchtbare Methode ist die Durchführung einer Taylor-Entwicklung.$g(x)=g(0)+g'(0) x+\frac{1}{2} g''(0) x^2+\frac{1}{3!} g^{(3)}(0)x^3+\cdots$, wo sind die$g^{(n)}(x)$ist die n-te Ableitung von g im Punkt x.

Wenn wir wollen$x=0$um eine Gleichgewichtsposition zu sein, müssen wir haben$g(0)=0$- Im Gleichgewicht wirkt keine Kraft auf das Teilchen. Wenn wir wollen, dass es ein stabiles Gleichgewicht ist, das dazu tendiert, in seine ursprüngliche Position zurückzukehren, müssen wir es haben$g'(0)<0$. Alle anderen Derivate sind Freiwild. Schreiben$-k=g'(0)$:

Es ist also unvermeidlich, dass bei diesen Definitionen des "stabilen Gleichgewichts" das resultierende Schwingungsmuster bei kleinen Amplituden sinusförmig ist. Stets. Das macht$\cos$und$\sin$aus physikalischer Sicht besonders.

(das haben wir natürlich auch stillschweigend vorausgesetzt$g$ist eine nette Funktion, die nett und glatt und differenzierbar ist, aber man tut das im Allgemeinen, wenn man an Problemen im Newtonschen Stil arbeitet)

Einer der großen Gründe, die oben nicht diskutiert wurden, ist die Fourier-Theorie – jede Funktion$f(x)$kann im Formular ausgedrückt werden$f(x) = \int dk\, A(k)e^{ikx}$, was im Grunde bedeutet, dass jede Funktion in eine unendliche Summe von Sinus und Cosinus zerlegt werden kann. Da dies der Fall ist und der Umgang mit Sinus und Cosinus mathematisch einfacher ist als der allgemeine Fall periodischer Funktionen, warum sollten Sie sich über letztere Gedanken machen, wenn Sie jede Funktion immer als Summe von Sinus und Consinus neu ausdrücken können und eine Lösung in dieser Form ist vollständig isomorph mit dem allgemeinen Fall, vorausgesetzt, Ihre Basisgleichung ist linear?

Denn Zyklen und Schwingungen und Dinge mit Periodizität sind alle eng mit dem Kreis verbunden. Und$sin$und$cos$werden anhand des Kreises definiert.

Eine wörtliche Antwort auf Ihre Titelfrage wäre einfach: "Weil sich Schwingungen in der physischen Welt in einer Weise verhalten, die konsistent ist mit$\sin$und$\cos$." Natürlich fragt man sich dann, warum diese Funktionen so allgegenwärtig sind.

Abhängig von Ihrem physikalischen Hintergrund sind Sie möglicherweise mit dem harmonischen Oszillator vertraut - das heißt, einem System, für das eine zur Verschiebung proportionale Rückstellkraft existiert. Beispielsweise ist die Bewegung einer Feder einfach harmonisch (da nach dem Hookeschen Gesetz die Rückstellkraft proportional zu dem Betrag ist, um den eine Saite gedehnt wird) und die Bewegung eines Pendels für kleine Winkelamplituden ist einfach harmonisch. Tatsächlich bewegt sich jedes Objekt im stabilen Gleichgewicht bei kleinen Störungen harmonisch.

Quantitativ wollen wir damit sagen, dass für einfache harmonische Bewegungen$F = - k x$für etwas Verdrängung$x$. Darüber hinaus,$F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$, wenn wir also diese beiden Gleichungen kombinieren, finden wir das

Dies ist eine Differentialgleichung, die gelöst werden muss, um sie zu finden$x(t)$. Es stellt sich heraus, dass die Lösung dieser Gleichung ein Ausdruck der Form ist$A \sin( \omega t - \phi)$für Konstanten$A$,$\omega$, und$\phi$- Um dies selbst zu überprüfen, fügen Sie eine Funktion wie ein$x(t) = 2 sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t - \frac{\pi}{2}\right)$.

Da die einfache harmonische Bewegung die häufigste Form der Schwingung ist, wird die einfache harmonische Bewegung mit beschrieben$\sin$und$\cos$folgen die meisten Schwingungen in der Physik diesen trigonometrischen Funktionen.

Die Zykloide erscheint nicht so oft wie$\sin$und$\cos$einfach weil es keinen Grund dafür gibt. Es gibt nicht viele physikalische Phänomene, die Zykloidenpfaden folgen, da die Zykloide im Vergleich zu der ziemlich einfachen eine so komplexe Form ist$\sin(\theta) = \operatorname{Im}({e^{i \theta}})$und$\cos(\theta) = \operatorname{Re}({e^{i \theta}})$.

Diese Frage erinnert mich an einige Bemerkungen auf den Seiten 14-16 von Peter Woits Anmerkungen zur Quantenmechanik und Darstellungstheorie

Stellen Sie sich im Grunde vor, Sie betrachten alle periodischen Funktionen von den reellen bis zu den komplexen Zahlen. Dies entspricht der Betrachtung aller Funktionen vom Einheitskreis bis zu den komplexen Zahlen. Lassen Sie uns die Eigenschaft hinzufügen, die wir für unsere Funktion verwenden möchten$f$so zu sein$f(\theta_1 + \theta_2) = f(\theta_1)f(\theta_2)$(Es ist zugegebenermaßen willkürlich, dies an dieser Stelle zu tun, aber zumindest ist es eine elegante Eigenschaft : ) ).

Dann ist es eine Tatsache, dass unsere Funktion der Form entsprechen muss$\theta \rightarrow e^{ik\theta} = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta)$, für eine ganze Zahl$k$. Dies führt also ein, warum man sich besonders für trigonometrische Optionen interessieren würde und nicht für andere Möglichkeiten, Schwingungen zu beschreiben.

Wenn man sich anschaut, was im Beweis vor sich geht, reduziert sich das im Wesentlichen darauf, dass die trigonometrischen Funktionen schöne Eigenschaften in Bezug auf Differentiation und Beziehung zueinander haben, z

Ja, es gibt Alternativen. Aber ein großer Teil der Abhängigkeit von Sinus und Cosinus ist historisch bedingt. Die Analyse von schwingenden mechanischen Systemen konzentrierte sich natürlich auf Sinus, da die Dinge so schwingen. Mit diesem Rahmen stellte sich heraus, dass auch die elektrischen und magnetischen Systeme reagieren. Außerdem (oder vielleicht könnten Sie alternativ sagen) Kreisbewegungen lassen sich leicht in Sinus und Cosinus zerlegen. Und die Liste geht weiter.

Als Alternativen können gut erzogene, begrenzte, periodische Wellenformen über die Fourier-Transformation in Sinus und Cosinus zerlegt werden, und die FT kann leistungsstark in die Laplace-Transformation erweitert werden. Zykloiden sind interessant, aber sie benehmen sich schlecht - sie erfordern unendliches dy/dx. Und das wiederum macht sie ungeeignet, um sie auf Probleme anzuwenden, die KEIN unendliches dy/dx haben - was so ziemlich alles ist.

Das heißt nicht, dass es für einige Anwendungen KEINE Alternativen gibt – siehe Wavelet-Theorie.

Ein weiterer Grund ist, dass wir die Zeit als immer fortschreitend wahrnehmen und viele Beispiele für Rotationen mit konstanten Drehzahlen sehen, sodass es für uns selbstverständlich ist, Schwingungen in Bezug auf die Zeit bis zum Winkel plus Radius und von dieser x,y-Position auszudrücken.

Sin und Cosinus geben uns per Definition die x,y-Koordinaten bei einem Winkel und Radius von 1, daher ist es bequem, sie zu verwenden.

Einfach ausgedrückt, unser Universum neigt dazu, so zu funktionieren, dass das Vorhandensein von etwas die Rate einer verwandten Variablen ändert. Man könnte sagen, dass das Universum bei jeder Aktion beständig interessenlos arbeitet, wobei jede sofortige Änderung die Zukunft des Systems beeinflusst. Es stellt sich heraus, dass dies mathematisch gesehen ein reales Beispiel für exponentielles Wachstum ist. Man könnte sagen, dass im Wesentlichen die meisten Eigenschaften von Dingen, die wir im Universum beobachten, exponentiell auftreten. Die kanonische Exponentialfunktion, an die wir denken, ist e^x.

Ich wette, Sie fragen sich jetzt, warum ich in einer Frage über Sinus und Cosinus Exponentiale erwähne. Der Grund dafür ist, dass Sinus und Cosinus eigentlich Exponentialfunktionen sind, wenn der Exponent unseres Interesses imaginäre Zahlen beinhaltet. Genauso wie die Wachstumsrate von etwas beim klassischen exponentiellen Wachstum zunimmt, wenn die unabhängige Variable zunimmt, wenn wir uns mit Sinus und Cosinus befassen, erzeugt die genaue Menge an vorhandenem Material ein System, das darauf reagiert, indem es in bestimmten Intervallen zunimmt und in anderen abnimmt.

Im Wesentlichen können Sie es sich so als eine spezielle Form des exponentiellen Wachstums vorstellen, bei der alle Ihre vorherigen Werte außerhalb der aktuellen Wellenlänge, die Sie untersuchen, keine Rolle spielen, und es ist eigentlich nur die Menge Ihrer Variablen, die ein Vielfaches Ihres Materials übersteigt wirkt sich auf Masseneigenschaften aus.

Um bildlich darüber nachzudenken, zeichne einen Graphen mit einer reellen und einer imaginären Achse. Zeichnen Sie einen Punkt auf dem Zahlenstrahl, multiplizieren Sie diese Zahl dann mit einer reellen Zahl und dann mit einer imaginären Zahl und wiederholen Sie dies. Sie werden feststellen, dass die reelle Zahl den Wert skaliert , während die imaginäre Zahl den Pfeil dreht . Wenn Sie dieses Verhalten auf Exponentiale abbilden, entstehen Exponentiale, bei denen das Wachstum „skaliert“ (das klassische e^x, an das wir denken) oder das Wachstum „rotiert“ (Sinus und Cosinus).