Was ist der Vorteil der Verwendung der Exponentialfunktion gegenüber der trigonometrischen Funktion bei der Analyse von Wellen?

Ich riskiere hier ein bisschen Ihr Alter auf Ihrer Benutzerseite: Wir haben einen 15-jährigen Stringtheoretiker auf dieser Seite (der auch aus Ihrem Heimatland stammt) , also auf die Gefahr hin, herabgesetzt zu wirken, hier ist etwas Ich fand es wirklich befriedigend in Bezug auf Ihre Frage, als ich ungefähr in Ihrem Alter war.

Die Differenzierung trigonometrischer Funktionen ist fummelig. Beim Differenzieren von a$\sin$es wird ein$\cos$, wenn Sie a differenzieren$\cos$es wird ein$-\sin$. Sie müssen also zweimal differenzieren , um eine trigonometrische Funktion wieder in ihre ursprüngliche Form zu bringen. Die zweite Ableitung$\mathrm{d}_t^2 f(\omega\,x)$ist gleichbedeutend mit multiplizieren mit$-\omega^2$(Wo$f$ist eine beliebige Linearkombination von$\sin\,\omega\,t$Und$\cos\,\omega\,t$), aber die erste Ableitung ändert im Allgemeinen die Funktion in etwas, das davon linear unabhängig ist.

Im Gegensatz dazu ist die Differenzierung von$\exp(i\,\omega t)$entspricht einer einfachen Skalierung , was bedeutet, dass Operationen mit Ableitungen aller Ordnungen erheblich vereinfacht werden können, nicht nur mit geraden Ordnungen, wie dies bei der Fall ist$\sin$oder$\cos$.

Das ist alles gleichbedeutend damit, das zu sagen$\sin$Und$\cos$Differentialgleichungen zweiter, aber nicht erster Ordnung erfüllen, wohingegen$e^{\pm i\,t}$, die spezielle Linearkombinationen von sind$\sin$Und$\cos$DEs erster Ordnung erfüllen. Hier ist eine wunderbare Denkweise, die für mich einheitlich ist$e^{i\,t}$,$\sin t$,$\cos t$und rechtfertigte mir mit 17 Jahren den komplexen Zahlenkörper. Wir denken zunächst an die Kinematik von etwas, das sich auf einer Bahn um den Einheitskreis bewegt. Ein Positionsvektor auf diesem Kreis ist$\vec{r} = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$so dass$\left<\vec{r},\,\vec{r}\right>=x^2+y^2=1$. Wir finden nun die Bewegungsgleichung eines Punktes$\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$auf den Kreis beschränkt ist definiert durch${\rm d}_t \left<\vec{r},\,\vec{r}\right> = 0$, woher$\left<{\rm d}_t \vec{r}(t),\,\vec{r}(t)\right> = 0$, woher (mit etwas Gefummel):

$${\rm d}_t \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right) = v(t) \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$$

Wo$v(t) = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Wir nehmen der Einfachheit halber$v(t) = 1$so dass wir durch die universelle Konvergenz des Matrixexponentials sofort haben, wenn wir annehmen, dass der Pfad an dem Punkt beginnt$x=1,y=0$zum Zeitpunkt$t=0$:

$$\vec{r}(t) = \exp\left[\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\,t\right]\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\mathrm{id} + i\,t + \frac{i^2\,t}{2!} + \frac{i^3\,t}{3!} + \cdots\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$

wo ich definiert habe

$$i= \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$

Sie können mit diesem herumspielen und überprüfen, ob dies der Fall ist$i$hat alle Eigenschaften, die der "alltägliche"$i$hat; insbesondere$i^2=-1$. In der Tat können Sie ein wenig weiter gehen und beweisen, dass "Zahlen" der Form:

$$a \,\mathrm{id} + b\,i = \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)$$

addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie genau wie die alltäglichen komplexen Zahlen. Der Körper der Matrizen der obigen Form ist isomorph zum Körper der komplexen Zahlen. Mathematisch ist es daher nicht vom komplexen Zahlenkörper zu unterscheiden. Dann trennen wir Realteile (Multiplikatoren der Identitätsmatrix) und Imaginärteile (Multiplikatoren der$i$zu definierende Matrix in diesem Feld:

$$e^{i\,t} = \cos(t) + \sin{t}\,i$$

und diese Entität hat die nützliche Eigenschaft, dass ihre Ableitung ein einfacher Skalierungsfaktor multipliziert mit der ursprünglichen Funktion ist, und wir erhalten:

$$\cos(t) = \mathrm{id} - \frac{t^2}{2!}\mathrm{id}+ \frac{t^4}{4!}\mathrm{id} + \cdots$$ $$\sin(t) = \mathrm{id}\, t - \frac{t^3}{3!}\mathrm{id}+ \frac{t^5}{5!}\mathrm{id} + \cdots$$

Wie passen diese zum Alltag?$\sin$Und$\cos$? Nun, berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, beginnend bei Position$(1,0)$und du wirst sehen, dass sie tatsächlich von denselben gegeben werden$\sin$Und$\cos$wie oben definiert.

Vielleicht gefällt Ihnen auch der Vortrag von Richard Feynman:

"Algebra"; Vorlesung 22, Band 1, The Feynman Lectures on Physics