Physikalische Intuition über das in D'Alemberts Formel für die Wellengleichung enthaltene Integral

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Physikalische Intuition über das in D'Alemberts Formel für die Wellengleichung enthaltene Integral

Wellen
Physik
ebene Welle
Integration
Randbedingungen
mathematisch-physik

Benutzer45664

Wenn $\phi(t,x)$ eine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung ist und wenn die Anfangsbedingungen $\phi(0,x)$ Und $\phi_t(0,x)$ gegeben sind, dann ergibt die Formel von D'Alembert

\begin{matrix} (1) & ϕ (T, X) = \frac{1}{2} [ϕ (0, X - C T) + ϕ (0, X + C T)] + \frac{1}{2 C} \int_{X - C T}^{X + C T} ϕ_{T} (0, j) D j . \end{matrix}

$\phi(t,x)= \frac 12[ \phi(0,x-ct)+ \phi(0,x+ct) ]+ \frac1{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \phi_t(0,y)dy . \tag{1}$

Vermietung $g(x)=\phi(0,x)$ Und $h(x)= \phi_t(0,x)$ (mit $c=1$ , So $ct=t$ ) Dies wird allgemein geschrieben

\begin{matrix} (2) & ϕ (T, X) = \frac{1}{2} [G (X - T) + G (X + T)] + \frac{1}{2} \int_{X - T}^{X + T} H (j) D j . \end{matrix}

$\phi(t,x)= \frac 12[ g(x-t)+ g(x+t) ]+ \frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(y)dy . \tag{2}$

Meine Frage:
Was ist die physikalisch intuitive Bedeutung des Integralbegriffs?
Warum zum Beispiel $\phi_t$ im Integral auftauchen, während $\phi$ taucht in den Vorwärts- und Rückwärtswellen auf? Warum hat das Integral diese spezifischen Integrationsgrenzen (und Integrationsregionen) für $h$ wohingegen $g$ verwendet nur die Endpunkte, $x+ct,x-ct$ ? Gibt es Beispiele mit bestimmten Funktionen für $\phi$ das würde helfen, das zu verstehen?

Verweise:

http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html
https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula
http://www.jirka.org/diffyqs/htmlver/diffyqsse32.html
http:/ /people.uncw.edu/hermanr/pde1/dAlembert/dAlembert.htm

math.ualberta.ca 337week0405.pdf nach Gleichung 180.

stanford univ waveequation3.pdf Seite 4 Lemma 3 und Seite 5.

math.nist.gov evolution.pdf Seite 537

math.usask.ca lamoureax_michael.pdf Seite 19.

univ. von penn. m425-dalembert-2.pdf ersten drei Seiten.

univ. von krank. unter urbana 286-dalemb.pdf

"Generalized Functions, Band 1", IM Gelfand, GE Shilov, Seite 114

"Mathematics for the Physical Sciences", L. Schwartz, Seiten 253-257

"The Mathematical Theory of Wave Motion", GR Baldock, T. Bridgeman, Seiten 40-45

Von diesen kenne ich zum Beispiel das für eine Saite $\phi_t(0,y)$ stellt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Null dar, aber warum endet sie physikalisch (und intuitiv) im Integral? Oder ich weiß $(x+ct),(x-ct)$ Definiere die Kanten eines Kegels mit der Spitze bei $(x,t)$ die die Grenze des Bereichs des Arguments von bilden $h$ Wo $h$ bewirken kann $\phi(t,x)$ , aber warum hat das Integral diese spezifischen Integrationsgrenzen für $h$ wohingegen $g$ verwendet nur die Endpunkte, $x+ct,x-ct$ ?

geniert

Was meinen Sie mit "was ist die physikalische Bedeutung von ..." : Es ist eine Differentialgleichung und Sein

ϕ_{t} (0, x)

$\phi_t(0,x)$ eine Ableitung muss natürlich zurückintegriert werden, um die Anfangsbedingungen zu verifizieren.

Benutzer45664

@Gennaro; Warum hängt die Lösung physikalisch vom Integral aller Werte von ab?

ϕ_{t} (0, x)

$\phi_t(0,x)$ zwischen x-1 und x+1 liegen? Ich verstehe, dass es mathematisch erforderlich ist, die Anfangsbedingungen zu erfüllen.

geniert

Nun, da die Variablen in den Funktionen sind

(x - t)

$(x-t)$ Und

(x + t)

$(x+t)$ sie erscheinen offensichtlich als Grenzwerte. Wenn Sie der Ableitung aus dem von Ihnen geposteten Link folgen, ist es einfach.

Knzhou

Ich glaube, die Abwähler dachten: "Natürlich hat das keine Bedeutung, es ist nur eine schreckliche Gleichung." Ich wünschte, die Leute würden das nicht tun – es gibt für fast alles eine physikalische Erklärung!

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Physikalische Intuition über das in D'Alemberts Formel für die Wellengleichung enthaltene Integral

Was meinen Sie mit "was ist die physikalische Bedeutung von ..." : Es ist eine Differentialgleichung und Sein $\phi_t(0,x)$ eine Ableitung muss natürlich zurückintegriert werden, um die Anfangsbedingungen zu verifizieren.
@Gennaro; Warum hängt die Lösung physikalisch vom Integral aller Werte von ab? $\phi_t(0,x)$ zwischen x-1 und x+1 liegen? Ich verstehe, dass es mathematisch erforderlich ist, die Anfangsbedingungen zu erfüllen.
Nun, da die Variablen in den Funktionen sind $(x-t)$ Und $(x+t)$ sie erscheinen offensichtlich als Grenzwerte. Wenn Sie der Ableitung aus dem von Ihnen geposteten Link folgen, ist es einfach.
Ich glaube, die Abwähler dachten: "Natürlich hat das keine Bedeutung, es ist nur eine schreckliche Gleichung." Ich wünschte, die Leute würden das nicht tun – es gibt für fast alles eine physikalische Erklärung!
Verwandte Frage von OP math.stackexchange.com/q/1883836/147776

Knzhou · Answer 1

Die D'Alembert-Lösung hat eine einfache Interpretation. Unter Verwendung Ihrer Notation lautet es

ϕ (X, T) = \frac{G (X - T) + G (X + T)}{2} + \frac{1}{2} \int_{X - T}^{X + T} H (X^{'}) D X^{'} .

$\phi(x, t) = \frac{g(x-t) + g(x+t)}{2} + \frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(x') dx'.$ Wo

g (x)

$g(x)$ ist die Ausgangslage,

h (x)

$h(x)$ ist die Anfangsgeschwindigkeit, und

v = 1

$v = 1$ .

Mathematisch löst der erste Term oben die Wellengleichung mit Anfangsposition $g(x)$ aber Null Anfangsgeschwindigkeit, während der zweite Term dasselbe für Null Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit tut $h(x)$ . Nach dem Superpositionsprinzip hat ihre Summe die Anfangsposition $g(x)$ und Anfangsgeschwindigkeit $h(x)$ , und ist daher gleich $\phi(x, t)$ für alle Zeiten.

Wir können jeden dieser einzelnen Begriffe durch körperliche Intuition verstehen.

Betrachten Sie zunächst den Begriff für Anfangsposition $g(x)$ . Wir wissen, dass alle Lösungen der Wellengleichung eine Linearkombination von Funktionen der Form sind $f(x\pm t)$ , also sind die einzigen Dinge, die wir verwenden können $g(x+t)$ Und $g(x-t)$ , die beide die richtige Anfangsposition haben. Schließlich stellen wir fest, dass ihre Mittelung nach der Kettenregel eine Null-Anfangsgeschwindigkeit ergibt. Wenn Sie eine Schnur halten und loslassen, erzeugen Sie intuitiv gleich große Wellen in beide Richtungen.

Betrachten Sie als nächstes den Begriff für die Anfangsgeschwindigkeit $h(x)$ . Um es zu verstehen, betrachten Sie die folgende einfachere Frage: Nehmen Sie an $h(x)$ ist überall null, mit Ausnahme einer scharfen Spitze bei $x = 0$ , was bedeutet, dass wir dort zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Saite schlagen $t = 0$ . Was ist die resultierende Form?

Physisch erwarten wir, dass sich eine „Schockwelle“ von diesem Ereignis nach außen ausbreitet. Lösen wir die Wellengleichung mit einer ähnlichen Technik wie im vorherigen Absatz, finden wir

j (X, T) = \frac{1}{2} (θ (X + T) - θ (X - T)) .

$y(x, t) = \frac12\left( \theta(x+t) - \theta(x-t) \right).$ Das heißt, alles innerhalb des "Lichtkegels".

(x, t) = (0, 0)

$(x, t) = (0, 0)$ ist aufgewachsen durch

1 / 2

$1/2$ .

Für einen General $h(t)$ , dann ist die Lösung, dies zu integrieren $1/2$ über alle Lichtkegel, die den Punkt beeinflusst haben könnten $(x, t)$ . Die Grenzen dieses Lichtkegels sind $x-t$ Und $x+t$ , ergibt den Begriff

\frac{1}{2} \int_{X - T}^{X + T} H (X^{'}) D X^{'}

$\frac12 \int_{x-t}^{x+t} h(x') dx'$ in Übereinstimmung mit der Formel.

gibt es nicht nur einen Lichtkegel? -- der Rückwärtsgang mit dem Scheitelpunkt am Punkt (x,t). Ich versuche immer noch, die physikalische Geometrie zu verstehen. Wenn es nur eine gibt, wird dann das Integral über den Abschnitt der x-Achse genommen, der zwischen (x-1) und (x+1) liegt? :)
@ user45664 Ah, ich hätte das besser formulieren sollen. Sie können sich eine allgemeine Anfangsgeschwindigkeit als Summe einzelner Spitzen an jedem Punkt vorstellen. Jede dieser Spitzen hat einen zugeordneten Lichtkegel. Das Integral in meiner Antwort bezieht sich also auf verschiedene Lichtkegel, die zu einem einzelnen Punkt beitragen, nicht auf das Intervall, das einem einzelnen Lichtkegel entspricht.
Ich verdaue das immer noch (glaube, ich verstehe, was du gerade gesagt hast). Wenn ich im ersten Kommentar (x',t') anstelle von (x,t) gesagt hätte, gäbe es dann nur einen Lichtkegel (mit Scheitelpunkt bei x',t')? Ich denke an den Lichtkegel, der am 'Beobachtungspunkt' (x', t') entsteht und nicht an den Punkten entlang der x-Achse, die die anfängliche t = 0-Geschwindigkeit trugen (dh die Unterstützung von h). Ich betrachte eine Figur in "Mathematics for the Physical Sciences", Laurent Schwartz, S.254, die diesen Lichtkegel zeigt :) (:
@ user45664 Du hast Recht, die beiden Ansätze sind gleichwertig! In beiden Fällen ist das physikalische Bild jedoch dasselbe: Das Integral liegt über der "kausalen Vergangenheit" von (x,t).
Daran müssen Sie ein wenig arbeiten, ich nehme an, Ihre Spitze kann so modelliert werden $\delta(x)\delta(t)$ ? komme später wieder :)
@ user45664 Es ist $\delta(x)$ am Anfang, danach ist es komplizierter.
Absolut hervorragende Antwort - akzeptiert! (hatte auf andere Antworten gehofft) Siehe meine verwandte Frage math.stackexchange.com/q/1883836/147776 . Ich verstehe das Integral immer noch nicht ganz: zB. wie warum ist $h$ nicht auch über die Zeit integriert, da es Geschwindigkeit ist und wir Verschiebung wollen. Das 1/c in meiner Gl. 1 legt die Dimensionen fest - aber ich verstehe es immer noch nicht - bieten die Grenzen des Integrals x + -ct diese Funktion? :)

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