Mellin-Barnes (MB) Integrale und hypergeometrische Funktionen

Ich versuche, einen Schritt in arXiv:1104.2661 zu verstehen . Gleichung 3.4 lautet,

$$\begin{equation} \frac{1}{\Gamma(2\epsilon)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{d\omega}{2i\pi}\frac{(-t)^\omega}{(-s)^{2-\epsilon+\omega}}\Gamma^2(\omega+1)\Gamma(2-\epsilon+\omega)\Gamma(-\omega)\Gamma^2(\epsilon-1-\omega). \tag{3.4} \end{equation}$$ Dann, indem Sie die Stangen nehmen $\omega=\epsilon-2-n$das Ergebnis lautet, $$\begin{equation} \frac{\Gamma(\epsilon)^2\Gamma(1-\epsilon)^2}{\Gamma(2\epsilon)\Gamma(2-\epsilon)}(-t)^{\epsilon-2}\ _2F_1(1,1,2-\epsilon,-\frac{s}{t}). \tag{3.5} \end{equation}$$ Die Frage ist sehr einfach. Der Residuensatz ergibt folgendes Ergebnis: $$\begin{equation} \sum_{n=0}^\infty \Gamma(\epsilon-1-n)^2\Gamma(n+2-\epsilon)(-1)^nn!\frac{(-t)^{\epsilon-2-n}}{(-s)^{-n}}. \end{equation}$$ Die Definition der hypergeometrischen Reads, $$\begin{equation} _2F_1(a,b,c,z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(c+n)}\frac{z^n}{n!}. \end{equation}$$ Ich sehe nicht, was ich tun muss, um die richtige Antwort zu erhalten.