Physikalische Bedeutung einer nicht integrierbaren Funktion in einer Gleichung

Zunächst einmal bin ich mir nicht sicher, was Sie mit einer nicht ganzzahligen Funktion meinen. John Dodson diskutierte zwei Interpretationen, die in der Physik häufig vorkommen: nicht-elementare Funktionen und Singularitäten. Die einzige andere Möglichkeit, die mir einfällt, sind Integrale wie

$$\int_{-1}^{1}\mathrm{sin}(\frac{1}{x})dx$$ Diese schwingt unendlich oft in der Nähe des Ursprungs, so dass sie bei x = 0 im Grunde undefiniert ist. Soweit ich weiß, kommen diese "pathologischen Funktionen" in der Physik nicht vor.

Davon abgesehen werde ich versuchen, eine zufriedenstellendere Antwort zu geben, indem ich ein Beispiel aus dem Elektromagnetismus durchgehe: die Green'sche Funktion. Damit Sie wissen, wohin das führt, gebe ich einen Überblick: Die Greensche Funktion ist wichtig, um die Maxwell-Gleichungen für beliebige Ladungsverteilungen zu lösen, aber der Versuch, sie naiv auszuwerten, führt zu einer Integration ähnlich zu$\int \frac{dx}{x}$- aber damit die Gleichungen irgendeine Bedeutung haben, müssen wir dieses Integral endlich haben . Um dies zu erreichen, müssen wir durch die komplexe Ebene integrieren, ein seltsamer Prozess, der physikalisch interpretierbare Ergebnisse liefert. Die Mathematik dieses Beispiels wird ein wenig ausgefeilter sein, aber es ist nur ein vages Verständnis der Konzepte erforderlich, um zu sehen, was vor sich geht.

Vereinfachte Maxwell-Gleichungen

Die Maxwell-Gleichungen sprechen über die Wechselwirkungen des elektrischen und magnetischen Feldes durch Differentialgleichungen. Es stellt sich heraus, dass wir die elektrischen und magnetischen Felder darstellen können, indem wir einen einzigen Potentialvektor einführen$A$mit vier Komponenten: eine "Zeit"-Komponente$\phi/c$und drei Raumkomponenten, die durch den Vektor dargestellt werden$\bf{\vec{A}}$. Dann sind die elektrischen und magnetischen Felder gegeben durch

$$\bf{\vec{E}}=\bf{\vec{\nabla}}\phi,\quad \bf{\vec{B}}=\bf{\vec{\nabla}}\times\bf{\vec{A}}$$ und Maxwell-Gleichungen sind $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\phi(\bf{x},t) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bf{\vec{A}}(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\bf{\vec{A}} (\bf{x},t) = \mu_0\bf{\vec{J}}$$ (Sie können hier gehen , um mehr über die Maxwell-Gleichungen zu erfahren, und hier , um mehr über den Operator zu erfahren $\bf{\vec{\nabla}}$).

Greensche Funktion

Konzentrieren wir uns auf die erste von Maxwells Gleichungen, die für$\phi$. Eine Möglichkeit, Lösungen für alle gegebenen Dinge zu finden$\rho$(dh die Ladungsdichte) ist mit den Lösungen für zu beginnen$\rho=0$- also Lösungen zu:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi$$ Wenn Sie derzeit in Calculus sind, kann diese Gleichung entmutigend aussehen; Die Lösung erweist sich jedoch als trivial: siehe Wellengleichung auf Wikipedia. Wenn wir Lösungen zu Maxwells Gleichungen für irgendwelche beziehen können $\rho$zu diesen bekannten Lösungen z $\rho=0$, dann sind wir gut! Der Weg, dies zu tun, besteht darin, eine Greensche Funktion für die Wellengleichung zu verwenden: eine Funktion wie die $$\phi_\rho(\bf{x},t) = \phi_0(\bf{x},t) + \int G(\bf{x-x'},t-t')\rho(\bf{x'},t')d^4 x$$ Wo $\phi_\rho$ist eine Lösung der Maxwell-Gleichung, und $\phi_0$ist eine Lösung für die $\rho=0$Fall. Das Integral wird über alle vier Dimensionen der Raumzeit genommen (daher das Symbol $d^4x$). Es gibt eine spezielle Differentialgleichung, die uns die Green-Funktion liefert, und ihre Lösung kann wie folgt dargestellt werden:

$$G(\textbf{x},t) = \int \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}d^4k}{\omega^2 - \textbf{k}^2}$$

Dieses Integral wird über vier Variablen durchgeführt: die Variable "Frequenz".$\omega$und der "Wellenzahl"-Vektor$\textbf{k}$. Diese entsprechen den verschiedenen Wellenlösungen$\rho=0$Gleichung.

Nicht integrierbare Funktion

Also was hat das mit deiner Frage zu tun? Nehmen wir an, wir versuchen, über die Variable zu integrieren$\omega$. So sieht es aus

$$\int\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{\omega^2 - \textbf{k}^2}d\omega\right) d^3\textbf{k}$$

Wenn wir partiell zerlegen, haben wir

$$\int\frac{e^{i(\textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{2|\textbf{k}|}\left(\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega - |\textbf{k}|}d\omega\right) - \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega + |\textbf{k}|}d\omega\right)\right) d^3\textbf{k}$$ Diese beiden internen Integrale sind offensichtlich problematisch: Integrieren direkt von $-\infty$Zu $\infty$, wir überfahren zwei Singularitäten, wenn $\omega = |\textbf{k}|$oder $\omega = -|\textbf{k}|$!

Wenn wir solchen Integralen begegnen, müssen wir einige Tricks anwenden, um sinnvolle Informationen aus ihnen zu gewinnen. Der Trick, den wir hier verwenden, besteht darin, nicht direkt von einem Ende zum anderen zu integrieren, sondern einen kurvigen Weg durch die komplexe Ebene zu nehmen, der die nicht integrierbaren Singularitäten vermeidet. Die möglichen Pfade beinhalten, sind aber nicht beschränkt auf:

„Fortgeschrittene“ Lösung „Verzögerte“ Lösung

Die verzögerte Lösung wird so genannt, weil sie Wellen berücksichtigt, die sich in der Zeit vorwärts bewegen (was die Ladung bedeutet$\rho$kann nur die Zukunft beeinflussen) und die fortschrittliche Lösung berücksichtigt Wellen, die sich in der Zeit rückwärts bewegen (gemeint ist die Ladung$\rho$kann die Vergangenheit beeinflussen). Da wir noch keine Möglichkeit gesehen haben, Botschaften in die Vergangenheit zu senden, interpretieren wir die zurückgebliebenen Lösungen typischerweise als die einzig "erlaubten"; Die fortschrittlichen Lösungen sind "verboten" (obwohl die Feynman-Wheeler-Absorbertheorie eine andere Interpretation bietet).

Die verzögerte Lösung lautet:

$$G_R(\textbf{x},t) = \Theta(t)\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4\pi r}$$ Die Step-Funktion $\Theta(t)$ist null für negativ $t$, während die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ist immer Null $x$ist ungleich Null. $r$stellt den Radius des Punktes dar $\textbf{x}$. Somit entspricht diese Gleichung Wellen, die sich zeitlich mit der Geschwindigkeit vorwärts bewegen $c$.

Rekapitulieren

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass zu bestimmten Zeiten nicht integrierbare Funktionen in physikalische Berechnungen eingehen, und der Versuch, diese Integrale zu interpretieren und nützliche Lösungen zu finden, kann uns zu einem breiteren Verständnis der physikalischen Situation führen.

Ein weiterer wichtiger Weg, auf dem dies geschieht, ist die Quantenfeldtheorie. Die Berechnung wechselwirkender Quantenfelder kann zu stark divergierenden Integralen führen, von denen sich keines so leicht vermeiden lässt wie das von uns betrachtete. Eine Klasse von Techniken, die als „ Renormalisierung “ bekannt sind, wurde entwickelt, um mit diesen Unendlichkeiten umzugehen, die sich auf die Idee konzentrieren, dass Feldtheorien auf kleinen Skalen nicht gültig sind, und uns auf eine genauere Hochenergietheorie hinweisen, die die Unendlichkeiten eliminieren wird. Obwohl anfangs umstritten, ist das moderne Verständnis solcher Theorien gut begründet und hat Verwendungen jenseits der Unendlichkeitsvermeidung. (Danke, Michael Braun!)

Man könnte also argumentieren, dass nicht integrierbare Funktionen nicht nur in unserem Naturverständnis vorkommen , sondern unser Naturverständnis erweitern, indem sie uns zu neuen Interpretationsmethoden führen .

Ich hoffe, Ihnen ein zufriedenstellendes Beispiel und eine Antwort auf Ihre Frage gegeben zu haben.

BEARBEITEN: Anfangs nannte ich Renormalisierungstechniken "kontrovers" - wie Michael Brown betonte, ist dies eine kleine Fehlcharakterisierung. Als sie zum ersten Mal eingeführt wurden, drückten viele prominente Physiker ihr Unbehagen gegenüber diesen Techniken aus, aber ein besseres Verständnis der Wissenschaft hinter der Renormierung hat zu einer fundierten Theorie geführt, und heute werden die meisten Quantenfeldtheorien nach ihrer Fähigkeit zur Renormierung beurteilt.

Nun, ein einfaches Beispiel (wenn auch vielleicht nicht befriedigend) wäre das Integral von 1/x aus [0, a].

$\int\limits_0^a \frac{1}{x}dx$

Wenn Sie dies integrieren, wird es ins Unendliche divergieren. Diese Art von Gleichung taucht extrem oft in der Physik auf. Die Quantenmechanik hat dafür viele Beispiele. Oftmals werden in der Quantenmechanik solche Lösungen "verworfen" und als bedeutungslos bezeichnet, während andere sinnvolle Lösungen beibehalten werden (das war eine grobe Art, es auszudrücken, aber gängige Bücher wie Griffiths oder Townsend lehren das Mathematik wie diese). Sie können sich vorstellen, dass dies zu abstoßenden Kräften / Feldern führen kann, bei denen der Radius von [0, a] ausgeht und Sie über den Radius integrieren müssen.

Möglicherweise sprechen Sie jedoch von unbestimmten Integralen, die nicht integrierbar sind, was sich stark von dem relativ einfachen Beispiel unterscheidet, das ich gerade gezeigt habe. Schauen Sie sich für diese Art von Beispielen die Wiki-Seite an, sie ist ziemlich interessant.

http://en.wikipedia.org/wiki/Nonelementary_integral

Diese sind in der Physik viel seltener zu finden und oft nur mathematische Anomalien ... Aber wenn ich mir die auf der Wiki-Seite ansehe, erkenne ich eine besonders, nämlich:

$e^{-x^2/2}$

Dies ist auch in der Quantenmechanik äußerst üblich, wenn Sie anfangen, Gauß'sche Integrale zu verwenden. Dies kann mit bestimmten Grenzen ausgewertet werden, aber manchmal haben Sie diese speziellen Grenzen nicht und müssen andere Methoden verwenden, um das Integral zu berechnen. Denken Sie daran, dass dies physikalisch sehr real ist und sogar von Teilchenphysikern am CERN ständig bei der Analyse von Daten verwendet wird. Was Sie tun müssen, ist eine Taylor-Reihenerweiterung oder die Fehlerfunktion zu verwenden, um die Antwort zu approximieren .... es kann keine genaue Antwort gefunden werden, aber mit diesen beiden Methoden können ziemlich genaue Antworten gefunden werden.

Hoffe das beantwortet deine Frage!

Ich möchte zusammenfassen, was mich von jeder Antwort auf diese Frage überzeugt hat.

Zwar treten bei Berechnungen häufig nicht integrierbare bzw. nicht elementare Funktionen auf. Sie sind eine Art Feedback zu unserer Theorie, wie genau sie die Natur abbilden kann.

Wir müssen unsere Theorie renormieren , genauer gesagt, unser Verständnis dieser Situation, um eine abweichende Lösung zu vermeiden.

Ich danke @FrancisFlute für dieses hervorragende Beispiel der Greenschen Funktion, um zu zeigen, dass solche Integrale in der Physik vorkommen, und es führt dazu, dass wir unser Verständnis der Natur ändern und schließlich bessere Theorien bilden!